简化解析几何运算方法-word资料（精）.doc

1 简化解几运算八法解析几何的本质特征是几何问题代数化, 就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题,这提供了许多便利;但也不可避免地造成许多计算的繁琐,同时对运算能力提出较高要求。其实,只要有简化运算的意识,注意探索简捷运算的技巧,并适时进行有关的规律总结,许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。 1. 回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的,在分析求解时若考虑回归定义,可以使许多问题化繁为简。例1 过椭圆左焦点倾斜角为?60 的直线交椭圆于点 BA, 且 FB FA 2?, 解析本题的常规解法是: 联立?????????)(3 ,1 2 22 2cxy b ya x 再结合条件 FB FA 2?求解, 运算量大, 作为填空题,不划算!如图 1 ,考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解: )2(3 1)(3 1BBAABBAABB FM ??????????) 2(3 1e BF e AF ??, 另一方面,在 FCB Rt ??中CF BF C BF ??????2 60 ?, BF e BF MCCF FM ??????于是??) 2(3 1e BF e AF2 BF e BF FM ??, 又 FB FA 2?, 2?e 例2 一种酒杯是抛物线 2 2 ( 0) x py y ? ?绕y 轴旋转而成的, 将长为 l 的玻璃棒(质地均匀)随意的放入酒杯内(杯壁足够高,能没入玻璃棒) ,试确定玻璃棒的平衡位置。解析: 确定平衡位置即求玻璃棒中点 M 到x 轴距离的最小值, 如图 2 ,应用抛物线的定义进行简捷求解:当 pl AB 2??时弦 AB 可以经过焦点 F ,如图 2 所示: AF AA BF BB????, , )2 (22 minpld pdMMBBAA BF AF AB l ??????????????显然当 pl AB 2??时平行于 x 2 minp ld? 2 .活用平几性质解决解析几何的运算问题, 往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组, 运算较为复杂, 运算能力稍差的同学难以准确迅速求解, 甚至半途而废; 若能联想题目所涉及图形的几何性质,并利用有关几何性质来解决问题,常常可以峰回路转, 已知点 P 到两定点)0,1( ),0,1(NM?的距离比为 2 ,点N 到直线 PM 的距 O AB A ?B ? F x ?Bx yAlMO FM ?B ?A ?2图 2 离为 1 ,求直线 PN 的方程。(02 年全国高考题) 解析本题若按常规做法为: 设),(baP ,则 PM 的方程为)1(1 ???xa by , 即0)1(????bya bx ,)1( 21 22baab b NH????????①又8)3()1( )1(2 2222 22??????????baba ba PN PM ②(注:满足上述条件 PN PM ?2 的点 P 的轨迹为阿波罗尼奥圆即圆 C ) 将①代入②可得 2 3 a ? ?, ( 3 1). b ?? ? ????a bk PN 因此直线 PN 的方程为).1(??