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平行线分线段成比例
观察
图3-：AA₁，BB₁，CC₁，DD₁互相平行，且假设AB=BC， A₁B₁= B₁C₁.由此猜测:假设两条直线被一组平行线所截，假设在一条直线上截得的线段相等，？
A
B
C
A₁
B₁
C₁
D
D₁
上述问题可以抽象成下面的命题:
如图，：直线a∥b∥c，直线l₁ ， l₂被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A₁B₁，B₁C₁，且AB=BC. 求证： A₁B₁=B₁C₁.
a
b
c
l₁
l₂
A
B
C
A₁
B₁
C₁
你能证明这个命题吗？
a
b
c
l₁
l₂
A
B
C
A₁
B₁
C₁
证明 过点B作直线 l₃∥ l₂ ，分别与直线交于点A₂，C₂.
由于a∥b∥c， l₃∥ l₂ ，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等〞可知， A₂B= ， BC₂= .
A₂
C₂
l₃
在△BAA₂和△BCC₂中，
∠ABA₂=∠CBC₂,BA=BC, ∠BAA₂= ∠BCC₂,
因此，△BAA₂≌ △BCC₂.
从而 BA₂=BC₂.
所以，A₁B₁=B₁C₁.
由此可以得到：
两条直线被一组平行线所截，假设在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
如图，任意画两条直线l₁，l₂，再画三条与l₁，l₂相交的平行直线a，b，₁，l₂截得的
线段AB，BC，A₁B₁，B₁C₁的长度. 与
相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A₁B₁，
B₁C₁的长度， 与 还相等吗？
a
b
c
l₁
l₂
A
B
C
A₁
B₁
C₁
=
动脑筋
动脑筋
a
b
c
l₁
l₂
A
B
C
A₁
B₁
D
D₁
d
e
f
E
E₁
F
F₁
下面我们来证明：
假设 ，则把线段AB二等
分，分点为D,过点D作直线d∥a，交l₂于点D₁，如图.
把线段BC三等分，三等分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a， f∥a，交l₂于点E₁，F ₁.
由 ，得 .
由于AD=DB= ，
BE=EF=FC= ，
因此AD=DB= BE=EF=FC.
C₁
由于a∥d∥b∥e∥f ∥c，
因此A₁D₁=D₁B₁= B₁E₁=E₁F₁ = F₁C₁.
从而
a
b
c
l₁
l₂
A
B
C
A₁
B₁
∮
D
D₁
d
e
f
E
E₁
F
F₁
类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线l₁，l₂被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A₁B₁，
B₁C₁，若 (其中m，n是是正整数),则
进一步可以证明： （其中k为无理
数），则
=
从而
a
b
c
l₁
l₂
A
B
C
A₁
B₁
C₁
我们还可以得到
=
=
=
a
b
c
l₁
l₂
A
B
C
A₁
B₁
C₁
由此，得到以下根本领实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
我们把以上根本领实简称为平行线分线段成比例.