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考研微分方程知识归纳
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微分方程部分
重点内容
1、变量可分离的微分方程
（1）形式 或
（2）通解 或
2、齐次方程
（1）形式 或
（2）通解 （令，则，）或
（令，则，）
3、一阶线性微分方程
（1）形式
（2）通解
4、可降阶的高阶微分方程
（1），其中为已知函数
积分次可得其通解
（2）（不显含）
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令，则。于是，原方程可化为
（一阶）①
设①的通解为，即
（一阶）②
由②可得通解

（3）（不显含）
令，则。于是，原方程可化为
（一阶）①
设①的通解为，即
（一阶）②
由②可得通解

5、二阶线性微分方程
（1）形式
非齐次 （1）
齐次 （2）
（2）解的结构
定理1 若为（2）的两个解，则
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为（2）的解。
定理2 若为（2）的两个线性无关的解，则为（2）的通解。 线性无关常数。
定理3 若为（1）的两个解，则为（2）的解。
定理4 若为（2）的解，为（1）的解，则为（1）的解。
定理5 若为（2）的通解，为（1）的一个特解解，则（1）通解为
6、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
（为常数）
的通解：特征方程的判别式
（，有两相异实根）
（，有两相等实根）
（，有一对共轭复根）
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二阶常系数非齐次线性微分方程
（为常数，为已知函数，称为自由项）
特解的表示：
（1）若（其中为次多项式），则可设特解
其中为（系数待定的）次多项式，
注意 当即时，也要考虑其是否为特征根！
（2）若或，则可设特解
其中为（待定）常数，
（3）若，且为
的特解，为
的特解，则为
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单实根时通解
④四个为四重实根时通解

⑤两个为二重实根，另两个为相异实根时的通解

⑥两个为二重实根，另两个为共轭复根时的通解

⑦两个为相异实根，另两个为共轭复根时的通解
例题选讲
例1 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 。（2007数学二）
解 特征方程
特征根
余函数
设特解 ，代入非齐次方程可得
得通解
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例2 求微分方程满足初始条件的特解。（2007数学二）
解 （可降阶，不显含）
令，则。于是，原方程可化为
变形为
（将作为的函数，这点很关键！！！）
则


即

由，得，则有，又由知，应取

解得

由，得
故方程满足初始条件的特解为
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例3 在下列微分方程中，以为通解的微分方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
（2008数学二）
解 特征根为
特征方程为，故应选D。
例4 设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且。对任意，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式。（2008数学二）
解 由题设，有
（旋转体侧面面积公式，要记住！）
即
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方程两边对求导，得

解得
，
由，得。
所以，或。
例5设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及所围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。（2009数学二）
解 将微分方程变形为
（不显含）（1）
注意到方程（1）为关于及的一阶线性微分方程，则
于是，有
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