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第十章双线性函数与辛空间
§ 1线性函数
定义1设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满 足
1) f (汽亠『■) = f (: ) f(:);
2) f(k：)=kf(：),
式中〉「是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数.
从定义可推出线性函数的以下简单性质：
1. 设f是V上的线性函数，贝U f(0) =0, f (-)二-f (「).
2. 如果［是的线性组合：
:=kzi - k2<2 ：：；…川’ks-：：s 那么
f( J =kif(： J k2f(： 2) ksf(： s)
例1设a1, a2 / ,an是P中任意数，X =(为公2, , xn)
f(X)=f(Xi,X2, ,Xn)=aiXi a?X2 anXn (1)
= a2二…二an = 0时，得f (X)二0,称为零函数， 仍用0表示零函数.
实际上，Pn上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.
令 ；i =(0, ,0,1,0, ,0), i =1,2, ,n.
第i个
Pn中任一向量X =(Xi,X2, ,Xn)可表成
X 二 X［川 X2 ；2
设f是Pn上一个线性函数，则
n n
f(x)二 fr Xi ；j 八人 f(打)
i 4 i J
令
ai = f (%), i = 1 ,，…,n ,
则
f (X)二 aiXi a?X2 anXn
就是上述形式.
例2 A是数域P上一个n级矩阵，设
aii
a21
ai2
a22
ain
a2n
an1
an2
ann J
n n
n n
则A的迹
Tr(A) =a〔i a 22
- On
n n
n n
是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pnn上的一个线性函数.
例3设V二P[x],[x]上的函数Lt为
Lt(P(x)) = p(t) , p(x)・ P[x], 即Lt(p(x))为p(x)在t点的值，Lt(p(x))是P[x]上的线性函数.
；「；2，…，； 意线性函数f及V中任意向量〉：
〉=Xi「X2 ；2 …• Xn ；n
都有
n n
f C ) = f C Xi ；i)八 Xi f ( ；i). (2)
i A i T
因此，f「)由f( ；i), f( ；2)，…，f( ；n)的值唯一确定•反之，任给P中n个数 a「a2,…，an，用下式定义V上一个函数f :
f (.一 xi ;j ) = " ai xi .
i=1 i 4
这是一个线性函数，并且
f ( =ai ,i =1,2, ,n
因此有
定理1设V是P上一个n维线性空间，仆②…，；n是V的一组基，
a^a?,…，，存在唯一的V上线性函数f使
f(；i) = ai,i =1,2, , n .
§ 2对偶空间

L(V,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法.
设f,：
(f g)： — f(： ) g(：), ： V .
f g也是线性函数：
(f g)(：」")=f (-八■') g(-八■')
= f(a) + f(B)+g©) + g(0)
=(f g)G) (f g)( )
(f g)(k： )二 f(k： ) g(k： ) =kf(： ) kg(： ) = k(f g)(：).
f ■ g称为f与g的和•
还可以定义数量乘法•设f是V上线性函数，对于P中任意数k，定义函数kf
如下：
(kf )(： ) =k(f(： )) , ： V,
kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数•
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， L(V,P)成为数域P上的线性
空间•
取定V的一组基；1, ；2,…，；n，作V上n个线性函数fi」2,…，fn，使得
'1 i = i；
fi&f i, j=1,2,…,n. ⑴
0, j 知，
因为fi在基“，；2,…，；n上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的 .对V中
n
向量:--x• Xi ；i，有
i 4
fi(：)=Xi, ⑵
即fiC )是〉的第