数分选讲讲稿第10讲.doc

讲授内容备注第十讲 4、用递推公式求高阶导数当高阶导数无法直接求出时,可先考虑求出导数的递推公式. 方法是:先求出前 n 阶的导数关系然后设法将等式作适当处理, 使两端同时求导时,能得到一般的递推公式. 例15设 2 ( ) (arcsin ) f x x ?,求( ) (0) nf . 解由 2 2arcsin ( ) 1 x f x x ???两边平方整理得 2 2 (1 )[ ( )] 4 ( ) x f x f x ?? ?(1) 再求一次导数 2 2 2 [ ( )] (1 )2 ( ) ( ) 4 ( ) x f x x f x f x f x ? ????? ???整理得 2 ( ) (1 ) ( ) 2 xf x x f x ? ??? ???(2) 应用 Leibniz 公式,对(2) 两端同时求 n 阶导数( 1) ( ) 2 ( 2) ( ) ( ) (1 ) ( ) n n n xf x nf x x f x ? ?? ???( 1) ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 n n nxf x n n f x ?? ???整理得( 1) 2 ( ) 2 ( 2) (1 2 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 0 n n n x n f x n f x x f x ? ?? ? ????(3) 在(1) 、(2) 、(3) 中,令 0x?,得 2 [ (0)] 4 (0) 0 f f ?? ?, (0) 0 f ??(0) 2 f ???( 2) 2 ( ) (0) (0) n n f n f ??从而(2 1) 2 (2 1) (0) (2 1) (0) k k f k f ? ?? ? 2 2 (2 3) (2 1) (2 3) (0) k k k f ?? ????? 2 2 (2 1) (2 3) 1 (0) 0 k k f ?? ????(2 ) 2 (2 2) (0) (2 2) (0) k k f k f ?? ? 3学时 2 2 (2 4) (2 2) (2 4) (0) k k k f ??