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第1章 代数与方程
代数式及其运算
1 整式及其加法与乘法
若干个字母与数相乘所得的式子称为单项式，例如：等都是单项式。若干个单项式之和的式子称为多项式。例如：等都是多项式。多项式中的单项式称为该多项式的项。单项式与多项式统称为整式。
整式的加法、减法和乘法的结果仍是整式。加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。减法是加法的逆运算。例如也可以写成。
如果两个整式经过整理后，它们的项除了次序外都相同，则称这两个整式相等。
整式的乘积有下列常用公式：
和的平方 ， ()
差的平方 ， ()
和与差之积 ， ()
和的立方 ， ()
差的立方 ， ()
立方和 ， ()
立方差 . ()
方差 ()
2 因式分解
把某个整式化为若干个其他的整式之积的运算称为因式分解。
将公式（）~（）等号的左、右边反过来写，就是一组常用的因式分解公式。
对于二次式的因式分解，除了可以用公式（）~（）外，还可以用交叉相乘的方法（或称十字相乘法）。例如
.
.
如果知道了方程的两个根是和，则有因式分解公式
.

图1-1 图1-2
对于三次式的因式分解，可以用公式（）~（）。
2
对于一元次的实系数多项式
()
（其中均为实数，）可以用公式().总可以分解成若干个一次和二次实系数因式的乘积，其中的二次因式不能再分解为两个实系数的一次因式。
对于复系数的次多项式，总可以分解成n个一次复系数因式的乘积。
对下式作因式分解：（1）；（2）.
解： （1）
.
（2）.
二次方程的根是，.而方程的判别式小于0，方程没有实数根。所以在实数范围原式的因式分解为
.
分解因式有时要用到下面公式
()
3 整式的除法
对于一个变量的多项式，如果，则称其为n次多项式。零次多项式就是只有常数项的单项式。如果该常数为零，即的所有系数均为0，则称其为零多项式，不规定次数，记作.
对任意两个实系数的多项式和（不是零多项式），一定存在实系数的多项式和，使得
, ()
其中的次数小于的次数，或为零多项式。满足（）式的和的惟一的。
除以，得到的商式是，余式是。除法可以用下例所示的竖式进行，类似于多位数的除法。
求除以的商式和余式。
解： 用竖式做了作法，有
4

得商式，余式.
如果f(x)除以g(x)，所得余式为零，即

则称整除。这对应于整数除法“除得尽”的情形。此时的次数是的次数与的次数之差。
如果多项式整除多项式，就是的一个因式。如果同时整除多项式和，就是和的一个公因式，如果是和的一个公因式，而且，的任意一个公因式都是的因式，则称是和的最大公因式。例如，和的最大公因式是.
如果整式（多项式和单项式）和没有一次以上的公因式，即最大公因式是常数，则称和是互质的。
和整数情形类似，可以有整式和的最小公倍式的概念。例如，上述和的最小公倍式是.
4 分式
设和是两个整式，形如（其中）的式子称为分式或有理式。是分子，是分母。
如果，且，都不是零多项式，。
如果整除，则是一个整式，它就是除以的商式.
如果为非零多项式，则有
.
所以分子和分母若有一次以上的公因式时可以约分。不能约分的分式（即分子和分母互质）称为既约分式。如果将一个分式用它的分子和分母的最大公因式约分，就将这个分式化为既约分式。
4
把分式化为既约分式。
解： .
类似于分数的加、减，分式的加、减，通常是先通分，再将对应的分子做加、减。通分时，可取各分母的最小公倍式作分母。一般计算结果要化成既约分式。
一元二次方程的性质
1 判别式
一元二次方程的形式是
, ()
其中, 称为方程的判别式。如果，方程有两个不相等的实根；如果，方程有一个实根，或称它是方程的重根；如果，方程没有实根，但有两个互相共轭的复根。
2 根和系数的关系
方程（）的根x1和x2满足关系
()
3 二次函数的图像和一元二次方程的根
设，如果画出的图像，则在的情形下，图像（抛物线）与x轴有两个交点，其横坐标分别是方程（）的两个不同实根x1和x2。在的情形下，图像与x轴有一个交点，即抛物线和x轴相切，切点的横坐标x1就是方程（）的重根。在的情