2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题10 圆锥曲线.doc

【 2015 年高考考纲解读】(1) 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质, B 级要求; (2) 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质, A 级要求; (3) 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质, A 级要求;曲线与方程, A 级要求. (4) 有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 【重点、难点剖析】 1 .圆锥曲线的定义(1) 椭圆: | MF 1|+| MF 2|=2a (2a >|F 1F 2 |); (2) 双曲线: || MF 1|-| MF 2 ||=2a (2a <|F 1F 2 |). 2 .圆锥曲线的标准方程(1) 椭圆: x 2a 2+ y 2b 2= 1(a>b >0)( 焦点在 x 轴上)或 y 2a 2+ x 2b 2= 1(a>b >0)( 焦点在 y 轴上); (2) 双曲线: x 2a 2- y 2b 2= 1(a >0,b >0)( 焦点在 x 轴上)或 y 2a 2- x 2b 2= 1(a >0,b >0)( 焦点在 y 轴上). 3 .圆锥曲线的几何性质(1) 椭圆: e= ca =1- b 2a 2; (2) 双曲线: ①e= ca =1+ b 2a 2. ②渐近线方程: y=± ba x或y=± ab x. 4 .求圆锥曲线标准方程常用的方法(1) 定义法(2) 待定系数法①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为 y 2=2 ax或x 2=2 ay(a≠ 0) ,避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时 a 不具有 p 的几何意义; ②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为 x 2m + y 2n = 1(m>0,n> 0); 双曲线方程可设为 x 2m - y 2n = 1( mn> 0). 这样可以避免讨论和繁琐的计算. 5 .求轨迹方程的常用方法(1) 直接法:将几何关系直接转化成代数方程; (2) 定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程; (3) 代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系; 注意: ①建系要符合最优化原则; ②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形,而轨迹方程则是代数表达式; ③化简是否同解变形,是否满足题意,验证特殊点是否成立等. 6 .有关弦长问题有关弦长问题, 应注意运用弦长公式; 有关焦点弦长问题, 要重视圆锥曲线定义的运用, 以简化运算. (1) 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2) ,则所得弦长|P 1P 2|= 1+k 2|x 2-x 1| 或|P 1P 2|= 1+ 1k 2|y 2-y 1 |. (2) 弦的中点问题有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”来简化运算. 7 .圆锥曲线中的最值(1) 椭圆中的最值 F 1,F 2 为椭圆 x 2a 2+ y 2b 2= 1(a>b> 0) 的左、右焦点, P 为椭圆上的任意一点, B 为短轴的一个端点, O 为坐标原点,则有①| OP|∈[b,a]; ②| PF 1|∈[a-c,a+c]; ③| PF 1|·| PF 2|∈[b 2,a 2]; ④∠ F 1 PF 2≤∠F 1 BF 2. (2) 双曲线中的最值 F 1,F 2 为双曲线 x 2a 2- y 2b 2= 1(a>0,b> 0) 的左、右焦点, P 为双曲线上的任一点, O 为坐标原点,则有①| OP|≥a; ②| PF 1|≥c- .定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量, 那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 9 .解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系,根据目标函数或不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理. 【高频考点】考点 1、圆锥曲线的定义与标准方程【例 1】(1)(2014 · 天津) 已知双曲线 x 2a 2- y 2b 2= 1(a>0,b> 0) 的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+ 10, 双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为() A. x 25 - y 2 20 =1 B. x 2 20 - y 25 =1 C. 3x 2 25 - 3y 2 100 =1 D.