随机变量的数学期望41实用教案.pptx

随机变量的数字(shùzì)特征
第四章
§1 随机变量的数学(shùxué)期望
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第一页，共30页。
知识点、考点(kǎo diǎn)举要
一．基本(jīběn)概念与基本(jīběn)结论
二．基础算法与重要(zhòngyào)演算性质
连续型随机变量数学期望的求法
六个常用随机变量的数学期望
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随机变量的数学期望
随机变量函数的数学期望的求法
数学期望的算子演算性质
离散型随机变量数学期望的求法
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第二页，共30页。
范例、思考(sīkǎo)与练****br/>随机变量(suí jī biàn liànɡ)函数的数学期望及其一般算法
一
四
§1 随机变量的数学(shùxué)期望
二
数学期望的定性与定量定义
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数学期望的算子演算性质
三
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第三页，共30页。
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1. 定性(dìng xìng)定义
随机变量 X 的平均取值称为其数学期望, 记为
随机变量X 对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均
一、数学期望的定性与定量定义
波动，称为 X 的方差，记为
亦即
方差实际上也是一种数学期望，是随机变量减其数学
期望的平方的数学期望. 用较为专业的术语讲，它是随机
变量的函数的数学期望.
因此，求随机变量平均取值以及随机变量对其平均取
值以偏差平方形式给出的平均波动问题，从本质上而言，
归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题.
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第四页，共30页。
假设(jiǎshè)在 n 个考试成绩中，
xi 分的有mi个 ( i = 1, 2,••• , k),
那么全部考分的平均分 = ?
x1m1 + … + xkmk
平均分 =
n
平均值可以(kěyǐ)怎样算？
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上式表明，将各种不同考分 xi ( i = 1, 2,••• , k)
与其在全体考生中所占的百分比 fi
相乘后再相加
结果就是全部考分的平均分 ！
一、数学期望的定性与定量定义
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类似(lèi sì)地可解释其还等于在整个平面上的重积分.
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2. 随机变量数学期望 E ( X ) 的定量算法
⑴ 对离散型变量
⑵ 对连续型变量
或
或
【对连续变量求算公式的简短解释】
依概率密度的含义，连续随机变量在长为 dx 的区间上
因此，该随机变量在整
近似取值 x 的概率应等于
一、数学期望的定性与定量定义
个实轴上的平均取值就应等于前二者之乘积
在
整个实轴上的全部累加之和，即应等于其在实轴上的积分
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二、随机变量函数的数学期望(qīwàng)及其一般算法
3. 六大常见分布的数学期望与分布参数的关系
分布符号
数学期望E ( X )
备注
B ( 1, p )
p
0-1分布
B ( n, p )
n p
二项分布
P (  )

迫松分布
均匀分布
E ( λ )
1 /λ
指数分布
N (  , 2 )

正态分布
运用数学期望 的定量算法可以证实
六大常见分布的数学期望与分布参数的关系如下表所示
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*1. 随机变量(suí jī biàn liànɡ)的常见函数、数学期望及其名称
二、随机变量函数的数学期望及其一般算法
是 X 与Y 与各自数学期望之差的乘积的数学期望.
⑴ k 阶原点矩
【例如】
恰是 X 自身的数学期望.
X 的一阶原点矩
是 X 平方的数学期望.
X 的二阶原点矩
X 的二阶中心矩
是 X 减其数学期望的平方的数学期望.
⑷ k + l 阶混合中心矩
⑵ k 阶中心矩
X 的二阶混合原点矩
是 X 与Y 乘积的数学期望.
X 的1+1阶混合中心矩
⑶ k + l 阶混合原点矩
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第八页，共30页。
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定理(dìnglǐ)一 设一元