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Black-Scholes期权定价模型
一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件
Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：
风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格 为So S遵循几何布朗运动，即 坐=St • cdz。
S
其中，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dz二；.dt，称为 标准布朗运动，；代表从标准正态分布（即均值为 0、标准差为1的正态分布） 中取的一个随机值），」为股票价格在单位时间内的期望收益率， 二则是股票价
格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。 」和二都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来 源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化 」，被称为漂移项，可以 被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即 ~ dz，可以看作随机波动使得
股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2•没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外
部因素。
，不存在突然的跳跃。
4•该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分 的。
在期权有效期内，无风险利率r保持不变，投资者可以此利率无限制地进 行借贷。
在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7 •所有无风险套利机会均被消除。
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、Black-Scholes期权定价模型
b-s期权定价公式
在上述假设条件的基础上,
Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产
欧式看涨期权的Black-Schole微分方程:
兰rS^
2S2
.:S2
=rf
#
6
其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看 涨期权的定价公式：^SN(d1^Xe_r(T_t)N(d2)
,ln(S/X)+(r +<r2 /2)(T —t) d1 □
其中,
二 T -t
d ln(S/X) (r r2/2)(T -t) d T t
d2 d1 - - . T -1
ZT —t
c为无收益资产欧式看涨期权价格；N (x)为标准正态分布变量的累计概率 分布函数(即这个变量小于 x的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有
N(_x) h _N(x)。
Black-Scholes期权定价公式的理解
1. SN(dJ可看作证券或无价值看涨期权的多头； Ke」(T」)N(d2)可看作K
份现金或无价值看涨期权的多头。
可以证明，：f/：：S二N(dJ。为构造一份欧式看涨期权，需持有 N(dJ份证券
多头，以及卖空数量为Ke”N(d2)的现金。
Black-Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。
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注意：该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美(无税、无交易成 本、资产无限可分、允许卖空)、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动
风险中性定价原理
风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无 关的。C（S, t）与S、r、t、T、c以及K有关，而与股票的期望收益率 卩无关。