材料0901班杨东麟0604090113page41.doc

1、编程实现以下科学计算算法,并举一例应用之。(参考书籍《精通MALAB科学计算》,王正林等著,电子工业出版社,2009 年) “ Gauss-Seidel 迭代法线性方程组求解”( 1 )迭代解法的基本思想: 根据给定方程组,设计出一个迭代公式,构造一数组的序列 xi 0, 代入迭代公式,计算出 xi 1, 在代入迭代公式,经过 k 次迭代运算后得到 xi k,若 xi k 收敛于某一极限数组 xi ,则 xi 就是方程组的近似解。迭代过程本质上就是计算极限的过程,一般不能得到精确解。但迭代的优点是程序简单,适合大型方程组求解,然而,缺点是要判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。(2) 算法说明: Gauss-Seidel 迭代法与简单迭代法类似,只是迭代公式有所改进。简单迭代法: kj nijj ii ij ii i kixA AA Bx??????,1 1; Gauss-Seidel 迭代法: kj nij ii ijkj iij ii ij ii i kixA AxA AA Bx??????????? 1 1 11; 设方程组 Ax =b, 其中 A和b 中的元素都为常数,且A 为非奇异,则A 分可写成: A=D-L-U 。其中 D 上网意义同 Jacobi 迭代法, L 为下三角矩阵, U 为上三角矩阵,他的迭代公式为: bLD Ux LDx kk 111)()( ???????在 MATLAB 中编程实现的 Gauss-Seidel 迭代法函数为: gauseidel 。功能:用 Gauss-Seidel 迭代求线性方程组 ax=b 的解。调用格式: [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M). 其中, A 为线性方程组的系数矩阵; b 为线性方程组中的常数向量; x0 为迭代初始向量; eps 为解的精度控制(此参数可选); M 为迭代步数控制(此参数可选); x 为线性方程组的解; n 为求出所需精度的解实际迭代步数。(3)Gauss-Seidel 迭代法的 MATLAB 程序代码如下: function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M) % 采用 Gauss-Seidel 迭代法求线性方程组 Ax=b 的解% 线性方程组的系数矩阵: A % 线性方程组的常数向量: b % 迭代初始向量: x0 % 解的精度控制: eps % 迭代步数控制: M% 线性方程组的解: x % 求出所需精度的解实际的迭代步数: n if nargin ==3 eps=-6; %eps 表示迭代精度 M=200; %M 表示迭代步数的限制值 elseif nargin ==4 M=200; elseif nargin <3 error return ; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f; n=1; % 迭代过程 while norm(x-x0)>eps x0=x; x=G*x0+f; n=n+1; %n 为最终求出解时的迭代步数 if n>=M disp( 'W arning : 迭代次数太多,可能不收敛! ' ); end end (4) 进行实例分析: >>A=[ ; ; ]; >> b=[1 0 1]'; >> x0=zeros(3,1); >> [x,n]=gauseidel(A,b,x0) x= % 输出结果 - n= 11 % 输出迭代次数 n (5) 运行图以即流程图: ①运行图: ②流程图: x=G*x0+f norm(x-x 0) >eps ? n>=200 ? Warning: 迭代次数太多, 可能不收敛 x0=x; n=n+1 最大步数 M为 200 是开始结束读取数据 nargin==3 ? 输出结果 n=1 eps= 10 --6 , 最大步数 M= 200 否否是是否②例题流程图: 输入系数矩阵 A 输入常数向量 b 和初始向量 x0 [x,n]=gauseidel(A,b,x0) 输出计算结果输出迭代次数一、分析电路:( RC 充电电路) (1)当 t<0 时,开关 K 位于“1”,电路以达到平衡 U c(0 +) =Uc (0 -) =-12V ,i R2( 0-) =3A ; (2)当 t>0 时,i c(0 +) =-U c(0 +) /(R 2 *R 3/(R 2 +R 3)), 达到稳态后, 电容中将无电流 i cf =0A , 电流源的全部电流将在两个电阻之间分配,保证