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第4章 连通性重要知识点
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．
§4．1 连通空间
本节重点: 掌握连通与不连通的定义.
掌握如何证明一个集合的连通与否?
掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间〔0，l〕和［1，2〕，尽管它们互不相交，但它们的并〔0，1〕U［l，2〕＝〔0，2〕却是一个“整体〞；而另外两个区间〔0，1〕和〔1，2〕，它们的并〔0，1〕U〔1，2〕是明显的两个“局部〞．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间〔0，l〕有一个凝聚点1在［1，2〕中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．
定义4．1．1设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果

那么称子集A和B是隔离的．
明显地，定义中的条件等价于 和 同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集〔0，1〕和〔1，2〕是隔离的，而子集〔0，l〕和[1，2) 不是隔离的．
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．
定义4．1．2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，那么称X是一个不连通空间；否那么，那么称X是一个连通空间．
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．
定理4．1．1设X是一个拓扑空间．那么以下条件等价：
〔l〕X是一个不连通空间；
〔2〕X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B= 和 A∪B＝ X成立；
〔3〕 X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B= 和 A∪B＝ X成立；
〔4〕X中存在着一个既开又闭的非空真子集．
证明〔l〕蕴涵〔2〕: 设〔1〕成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得
A∪B＝X，显然 A∩B=，并且这时我们有

因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件〔2〕中的要求．
〔2〕蕴涵〔3〕．如果X的子集A和B满足条件〔2〕中的要求，所以A、B为闭集，那么由于这时有A＝B/和B=，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件〔3〕中的要求．
〔3〕蕴涵〔4〕．如果X的子集A和B满足条件〔3〕中的要求，所以A、B是开集，那么由A＝和B= 易见A和B都是X中的闭集，因此A、B是X中既开又闭的真〔∵A、B≠，A∪B=X，∴A、B≠X〕子集，所以条件〔4〕成立．
〔4〕蕴涵〔l〕．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B=．那么A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的〔因为闭集的闭包仍为自己〕．因此〔l〕成立．
例4. 1．1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合〔-∞，r〕∩Q＝〔－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．
定理4．1．2 实数空间R是一个连通空间．
证明 我们用反证法来证明这个定理．
假设实数空间R是不连通空间．那么根据定理4．1．1，在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B= 和 A∪B＝ R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性可设a＜b．令=A∩[a,b]，和=B∩[a,b]．于是和是R中的两个非空闭集分别包含a和b，并且使得∩=和∪=[a，b]成立．集合有上界b，故有上确界，设为．由于是一个闭集，所以∈，并且因此可见＜b，因为＝b将导致b∈∩，而这与∩=矛盾．因此〔，b]．由于是一个闭集，所以∈．这又导致∈∩，也与∩=矛盾．
定义4．1．3设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，那么称Y是X的一个连通子集；否那么，称Y是X的一个不连通子集．
拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系.)．因此，如果，那么Y是X的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．
定理4．1．3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，BY．那么A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子