计量经济学 第四章 统计推断： 估计与假设检验.doc

1 第四章统计推断:估计与假设检验 统计推断的含义总体和样本总体是指我们所关注现象出现的可能结果的全体,样本是总体的一个子集( 例如,杭州的人口;下沙开发区的人口)。宽泛地说,统计推断研究的是总体与来自总体的样本之间的关系。国内股票交易市场共有 1 500 多支股票。假定某一天从中随机选取 50支, 并计算这 50 支股票价格与收入比的平均值—即 P/E 比值。(例如,一支股票的价格为 50 元,估计年收益为 美元,则 P/E 为20 ;也就是说,股票以 20 倍的年收益出售。) 根据 50 支股票的平均 P/E 值,能否说这个 P/E 值就是总体的 1 000 多股票的平均 P/E 值呢? 如果令 X 表示一支股票的 P/E 值,X 表示 50 支股票的平均 P/E 值,能否得知总体的均值 E(X) 呢?此处统计推断的实质就是从样本值均值(X ) 归纳出总体值 E(X) 的过程。 参数估计通常假定某一随机变量 X 服从某种概率密度,但并不知道其分布的参数值。例如, X服从正态分布,想知道其两个参数,均值 E(X)=u X ,及方差 2x?。为了估计未知参数,一般的步骤是: 假定有来自某一总体, 样本容量为 n 的随机样本, 根据样本估计总体的未知参数。因此, 可将样本均值作为总体均值( 或期望) 的估计量, 样本方差作为总体方差的估计量。这个过程称为估计问题,估计问题有两类: 点估计(point estimation) 和区间估计(interval estimation) 。假定随机变量 X(P/E 值) 服从某一未知均值和方差的正态分布。但是, 有来自该正态总体的一个随机样本(50 个股票的 P/E 值) ,如何根据这些样本数据计算总体的均值 u X (=E(X)) 和方差2x??2 表4-1 点估计据表 4-1 的数据 50个 P/E 的样本均值为 11 .5 ,显然我们可以选择 X 作为 u X 的估计值。我们称这个单一数值为 u X的点估计值。(注意: 点估计量是一个随机变量,因为其值随样本的不同而不同。) 某一特殊的估计值( 比如 ) 的可信度有多大呢?虽然 X 可能是总体均值的“最好的”估计值, 但是某个区间, 比如 8~ 10, 更可能包括了总体均值。这正是区间估计的基本思想。区间估计区间估计的主要思想源于估计量的概率分布的概念。如果随机变量 X~N(u X ,2x?),则(回忆第三章中心极限定理):X ~ N(u X,2n ?) 或, (0,1) X u Z N n ???? 3 即样本均值的抽样分布也服从正态分布。如前所述,通常 2?未知,可用其估计量 22 ( ) 1 iX X X Sn ????代替,则: / x X u t s n ??服从自由度为(n- 1)的t 分布。在 P/E 一例中,共有 50 个样本观察值,因此自由度为 49 。查附录中的 t 分布表可得: P(- ≤t≤ )= 也即区间(- , ) 包括 t 值的概率为 95% 。- 和 称为临界 t值, 表明了在临界值区间内,位于 t 分布曲线下区域的比例。把/ x X u t s n ??代到 P(- ≤t≤ )= 中,得到: P(- ≤/ x X u t s n ??≤ )= 整理得: ( ) x S S P X u X n n ? ????上式为真实的 u X 一个区间估计量。 ≤u X≤ ( 近似值) 即为 u X的 95% 的置信区间。一般地,称 4 ( ) x S S P X u X n n ? ????为未知的总体均值 u X 的一个 95% 的置信区间。 称为置信系数。上式表示随机区间(; S S X X n n ? ?) 包括真实的 u X 概率为 。( SXn ?) 称为区间的下限(lower limit) ,( SXn ?) 称为区间的上限(upper limit) 。特