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中值定理及应用
一、基本概念定理
1、极值点与极值—设连续,其中。若存在,当时,有,称为的极大点;若存在,当时,有,称为的极小点,极大点和极小点称为极值点。
2、极限的保号性定理
定理设,则存在,当时,,即函数极限大于零则邻域大于零;极限小于零则邻域小于零。
【证明】设,取,因为,由极限的定义,存在,当时,,于是。
3、极限保号性的应用
【例题1】设,讨论是否是极值点。
【例题2】(1)设,讨论是否是的极值点;
(2)设,讨论是否是的极值点。
【解答】(1)设,即,由极限的保号性,存在,当时,有。
当时,;当时,。
显然不是的极值点。
(2)设,即,由极限的保号性,存在,当时,有。
当时,;当时,。
显然不是的极值点。
【结论1】设连续函数在处取极值,则或不存在。
【结论2】设可导函数在处取极值,则。
二、一阶中值定理
定理1(罗尔中值定理)设函数满足:(1);(2)在内可导;(3),则存在,使得。
定理2(Lagrange中值定理)设满足:(1);(2)在内可导,则存在,使得。
【注解】
(1)中值定理的等价形式为:
,其中;
,其中。
(2)对端点有依赖性。
(3)端点可以是变量,如,其中是介于与之间的的函数。
定理3(Cauchy中值定理)设满足:(1);(2)在内可导;(3),则存在,使得
。
题型一:证明
【例题1】设,,证明:存在使得。
【例题2】设曲线,,在内二阶可导,连接端点与的直线与曲线交于内部一点,证明:存在,使得。
【例题3】设,在内可导,且,证明:存在,使得。
题型二:结论中含一个中值,不含,且导出之间差距为一阶
【例题1】设,在内可导,,证明:存在,使得。
【例题2】设,在内可导,,证明:存在,使得。
【例题3】设,在内二阶可导,且,证明:存在,使得。
题型三:含中值
情形一:含中值的项复杂度不同
【例题1】设,在内可导,且,证明:存在,使得。
【例题2】设,在内可导,证明:存在,使得
。
情形二:含中值的项复杂度相同
【例题1】设,在内可导,且。
(1)证明:存在,使得。
(2)证明:存在,使得。
【例题2】设,在内可导,且,证明:存在,使得