考研数学 高等数学总结4.docx

高等数学部分
定积分理论
一、定积分的产生背景
1、曲边梯形的面积问题
2、变速运动路程问题
二、定积分的定义—设为上的有界函数,若存在,称在上可积,极限称为在上的定积分,记,即。
【注解】
(1)极限与区间的划分及的取法无关。
(2),反之不对。
(3)若一个函数可积,则。
三、定积分基本理论
定理1 设,令,则为的一个原函数,即。
【注解】
(1)连续函数一定存在原函数。
(2)。
(3)。
【例题1】设连续,且,求。
【例题2】设为连续函数,且,求。
定理2 (牛顿—莱布尼兹公式)设,且为的一个原函数,则
。
四、积分法
1、换元积分法—设,令,其中可导,且,其中,则。
2、分部积分法—设在上连续可导,则。
五、定积分性质
1、基本性质
(1)。
(2)。
(3)。
(4)。
(5)设,则。
推论1 设,则。
推论2 。
(6)设在上连续,且,则。
(7)(积分中值定理)设,则存在,使得。
2、定积分的特殊性质
(1)对称区间上定积分性质
1)设,则。
2)设,且,则。
3)设,且,则。
(2)周期函数定积分性质
设以为周期,则
1),其中为任意常数。
2)。
(3)特殊区间上三角函数定积分性质
1)设,则,特别地,
,且。
2)。
3)。
4)设,则。
【例题1】计算。
【例题2】计算。
【例题3】计算。
第一讲极限与连续
一、定义
1、函数的几个初等特性
(1)奇偶性—设函数的定义域关于原点对称,若,称为偶函数;若,称为奇函数。
【例题1】判断函数的奇偶性,并求其反函数。
(2)周期性—设的定义域为,若存在,使得对任意的,有且,称为周期函数。
【例题2】讨论函数的周期性。
(3)单调性—设对任意的且,有,称在上为单调增函数,反之称为单调减函数。
(4)有界性—若存在,对任意的,有,称在上有界。
2、极限
(1)数列极限()—若对任意的,总存在,当时,有

成立,称数列以为极限,记为。
(2)函数当时的极限()—若对任意的,总存在,当时,有

成立,称为当时的极限,记为。
(3)函数当时的极限()—若对任意的,存在,当时,有

成立,称为当时的极限,记为。
(4)左右极限—若,称为在处的左极限,记为;若,称为的右极限,记为,注意存在的充分必要条件是与都存在且相等。
【注解】
(1)函数在一点处的极限与函数在该点有无定义无关。
(2)形如当时的极限一定分左右极限。
若对,因为,,所以极限不存在;
又如,显然,,故不存在。
3、无穷小
(1)无穷小的定义—以零为极限的函数称为无穷小。
(2)无穷小的层次—设,若,称为的高阶无穷小,记为;若,称与为同阶无穷小,记为,特别地,若,称与为等价无穷小,记为。
【注解】
(1)无穷小一般性质
1)有限个无穷小之和、差、积为无穷小。
2)有界函数与无穷小之积为无穷小。
3)的充分必要条件是,其中。
(2)等价无穷小性质
1);
2)若,则;
3)若,则;
4)若且,则。
(3)当时常用的等价无穷小
1);
2);
3)。
【例题3】计算极限。
【例题4】计算极限。
【例题5】计算极限。
【例题6】计算极限。
【例题7】计算极限。
4、连续
(1)函数在一点处连续的定义—设在的邻域内有定义,若,称在处连续。
【注解】在处连续的充分必要条件是。
(2)函数在上连续的定义—设在上有定义,在内点点连续,且,称在上连续。
【注解】初等函数在其定义域上都连续。
5、间断点及分类
(1)设在处间断,且都存在,称为的第一类间断点。
进一步地,若,称为的可去间断点;
若,称为的跳跃间断点。
(2)设在处间断,且至少一个不存在,称为的第二类间断点。
【例题8】求函数的间断点及类型。
【例题9】求函数的间断点及类型。
【例题10】求函数的间断点及类型。
二、极限有关性质
(一)极限一般性质
定理1(唯一性定理) 极限具有唯一性。
定理2(保号性定理)
(1)若,则存在,当时,。
(2)设且,则。
(二)极限的存在性质
定理1 单调有界的数列必有极限。
情形一:设单调增加,且存在,使得,则存在。
情形二:设单调减少,且存在,使得,则存在。
定理2(夹逼定理)
(1)数列型:设,且,则。
【例题11】计算。
(2)函数型:设,且,则。
三、重要极限与有关结论
1、。
记忆:(1)时,,尤其();
(2)时,。
2、。
记忆:单调增加收敛于。
四、闭区间上连续函数的四大性质
定理1 (最大值最小值定理)设,则在上取到最小值和最大值。
定理2