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函数的奇偶性的判定
一。要点解读
1、理解奇、偶函数的定义要把握好两个问题：其一，定义域关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必须满足的条件；其二，或是定义域上的恒等式。
2、具有奇偶性的函数的图像的特征；偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于
原点对称。所以判断函数的奇偶性，除了定义法还有图像法。
3、由奇函数的定义可知，在x＝0处有意义的奇函数f（x），有f（0）＝0成立。
4、有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性。
，即，即
5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。
二．典例剖析
1、常见函数的奇偶性的判断
例1、判断函数是否具有奇偶性。
解：先看定义域，由得，则定义域关于原点
对称，即任取，都有，又，
所以为偶函数。
点评：第一步：判断定义域是否关于原点对称；第二步：若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原点对称，则进一步寻找f（－x）与f（x）之间的关系；第三步：根据定义下结论。
2．分段函数的奇偶性
例2、判断函数的奇偶性。
解：由题意，得函数f（x）的定义域关于原点对称，当x<0时，－x>0，
所以，当x>0时，－x<0，所以，
综上所述，得f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数。
点评：对于分段函数要在定义域的不同部分上来分析奇偶性，但是要在整体上给该函数下结论。
3、抽象函数的奇偶性
例4、已知函数f（x）对一切x，y都有
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（－3）＝a，试用a表示f（12）.
分析：要证f（x）为奇函数，需证f（－x）＝－f（x），即
解；（1）令x＝y＝0，得，所以f（0）＝0，令y＝－x得
，所以 所以函数f（x）为奇函数。
（2）因为f（－3）＝a，函数f（x）为奇函数，所以f（3）＝－a，
所以，所以
点评：在解有关抽象函数的问题时，常用赋值法。常常赋值为0或1，在判断函数的奇偶性时，需要判断f（－x）与f（x）的关系，可以从f（－x）开始化简得到，也可以从考虑或是否为零来判断两者的关系。