10-2第二类曲线积分.ppt

第二类曲线积分第二节第十章一、第二类曲线积分的概念及性质二、两类曲线积分之间的联系三、第二类曲线积分的计算一、第二类曲线积分的概念及性质 1. 问题引入“分割,近似, 求和, 取极限” L : A ? B,解决办法: 求移动过程中变力)),(,),((),(yxQyxPyxF??联想:恒力沿直线做功所作的功 W.? cos AB FW ?? AB F???AB F 2o取近似把L分成 n 个小弧段,有向小弧段 kkMM 1?),( kkyx???近似代替, ),,( kkηξ则有 kkkkyηξQxηξP????),(),( kk 所做的功为, kW? F沿kkMM 1?kkkkMMηξFW 1k),( ???????? nk kW W 1 则用有向线段 kkMM 1?kkMM 1?在上任取一点 1?kM kMA Bx yL ),( kkF?? ky? 1o分割kx? 4o取极限??? nkW 1]),(),([ kkkkkkyξQxP?????????? nk λW 1 0 lim ?? kkkkkky)Δη Q( ξx)ΔηξP,,(? 1?kM kMA Bx yL ),( kkF?? ky? kx?(其中?为n个小弧段的最大长度) 3o求和变力沿曲线所作的功设L为 xOy 平面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在(与分割和取点无关),???????? ni iiiiiiyQxP 1 0]),(),( lim ?????在 L 上定义了一个有界向量函数极限)),(,),((),(yxQyxPyxF?? 2. 定义 ?????? ni iiiλrηξF 1 0),( lim ?, ?????jyixr ii i???其中???? LryxFd),( F(x,y )在有向曲线弧 L 上的第二类曲线积分, ??? LyyxQxyxPd),(d),( 或对坐标的曲线积分, 记作???????? ni kkkkkkλyηξQxηξP 1 0]),(),( lim },|Δ|{ max 1 inirλ????则称此极限值为向量值函数积分曲线???? LryxFd),( 第二类曲线积分的向量形式?? LyyxQxyxPd),(d),( 第二类曲线积分的坐标形式? LxyxPd),(? LyyxQd),( 对x的曲线积分;对 y 的曲线积分. 注 1°关于第二类曲线积分的几个术语 2°若?为空间曲线弧, )),,(,),,(,),,((),,(zyxRzyxQzyxPzyxF??????????ΓΓd),,(d),,(d),,(dzzyxRyzyxQxzyxPrF 3°如果 L是闭曲线, 则对坐标的曲线积分记为???????LLyyxQxyxPrFd),(d),(d 4°对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向! 5°变力沿曲线所作的功??? LyyxQxyxPWd),(d),( 线性性质: )1( 可加性: )2(?????????????? 21d),(d),( d),( LL LryxFryxF ryxF???????????????? LL LryxFβryxFα ryxFβyxFαd),(d),( d )],(),([ 21 2 1 组成和由 21LLL 性质 1R????, L 1L 2 (3) 有向性:用L -表示 L 的反向弧, 则???????????LLryxFryxFd),(d),( 这是第一类和第二类曲线积分的一个重要区别对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向.