10.2第二类曲线积分.ppt

二、对坐标的曲线积分的概念; 三、对坐标的曲线积分的计算; 一、问题的提出; 第三节对坐标的曲线积分 1o x yA BL 一、问题的提出 1?nM iM 1?iM 2M 1M ix? iy?实例:变力沿曲线所作的功,:BAL?( , ) ( , ) ( , ) F x y P x y i Q x y j ? ??? ?常力所作的功分割. ),,(, ),,(, 1111110BMyxMyxMMA nnnn?????? 1 ( ) ( ) . i i i i M M x i y j ?? ????????????? ?. W F AB ???? ??2 求和.]),(),([ 1???????? ni iiiiiiyQxP????取极限.]),(),([ lim 1 0????????? ni iiiiiiyQxPW?????近似值精确值( , ) ( , ) ( , ) , i i i i i i F P i Q j ? ? ????? ??? ?取 1 ( , ) i i i i i W F M M ? ??? ? ??????????.),(),( iiiiiiiyQxPW?????????即???? ni iW W 1o x yA BL 1?nM iM 1?iM 2M 1M ),( iiF?? ix? iy? 3二、对坐标的曲线积分的概念 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 , ( , ), ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ) ( 1, 2, , ; , ). , , ( , ) . n n n i i n i i i i i i i i i i L xoy A B P x y Q x y L L M x y M x y M x y L n M M i n M A M B x x x y y y M M ? ?? ???? ??? ??? ?????????????????????????设为面内从点到点的一条有向光滑曲线弧函数在上有界用上的点把分成个有向小弧段设 点为上任意取定的点如果当各小弧段 0 , ??长度的最大值时 4.),( lim ),( ,( ),( ,),( 1 0 1ii ni iL ni iiixPdx yxP xLyxP xP??????????????记作或称第二类曲线积分) 积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义.),( lim ),( 1 0 ii ni iLyQ dyyxQ?????????,),( ),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP . 叫积分弧段 L 5 : ., ),( ),,( 第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP ?????? L LL dyyxQ dx yxP dyyxQ dx yxP),(),( ),(),( . L F ds ? ????, . F Pi Qj ds dxi dyj ? ? ???? ? ???其中 6 ?空间有向曲线弧.),,( lim ),,( 1 0 iii ni ixP dx zyxP???????????.???? Rdz Qdy Pdx .),,( lim ),,( 1 0 iii ni iyQ dyzyxQ???????????.),,( lim ),,( 1 0 iii ni izR dzzyxR??????????? 7 . ,)1( 2121???????? LLL Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx LLL则和分成如果把(2) , , L L L ?设是有向曲线弧是与方向相反的有向曲线弧则即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L P x y dx Q x