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高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
C A x A x ⇔∉∈ U A x ⇔∉, C A x ∈ U .

U U ) ∩( U ; U ∪= U C B C A B CA B C A C ∪) B A C U ( ∩= .

∪ B B A A B A = ∩⇔= ⊆ C⇔ A C⊆⇔ B B A U U
= Φ⇔ C B A ∩ U = ⇔ R B C A U ∪

) ( ∩) card cardA − B A cardB( + card∪ B A =
) ( ∩) cardAcard − C B A cardB( + ∪∪ cardC + card B A =
) + ( ∩∩−) ( ∩−) ( ∩−) card card card cardB C A C A B B C ( A ∩.
n n n
5 } .集合, a , , { 2 a a 1 ⋯ n 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 –1
个;非空的真子集有 2 n –2 个.

) 0) ( (1)一般式 bxca ax ≠ x + f ) ( + = 2 ;
) 0) (2) ( 顶点式 a k ) h ≠ a x ( x + f ) ( −= 2 ;
() ) 0) )( (3) a ≠零点式 x )( x x a x −( x f ) ( −= 2 1 .
M x < f N < ) ( 常有以下转化形式
M x < f N < ) ( 0 ] ) ( ][ N < ⇔ x − f M ) ( [ x f −
− N M N M + N x f ) ( −
| ⇔) ( < | x f −⇔> 0
2 2 x f M −) (
1 1
⇔> .
N M N − x f ) ( −
f (x) = 0 在(k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) < 0 不等价,前者是后
, 方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 有且只有一个实根在
b k + k
(k , k ) 内,等价于 f (k ) f (k ) < 0 ,或 f (k ) = 0 且 k < −< 1 2 ,或 f (k ) = 0 且
1 2 1 2 1 1 2a 2 2
k + k b
1 2 < −< k .
2 2a 2

b
二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 在闭区间[p,q] 上的最值只能在 x = −处及区
2a
间的两端点处取得,具体如下:
b
1 (1) 当 a>0 若, 时 x = −∈[p,q] 则,
2a
b
q f p f ) ( ), ( x f ) ( ), f = ( x f ) ( −= { };
i max min 2 a
b
x = − q f p ) ( ∉ f ), ( [p,q], x f ) ( = { q f p ) ( f ), ( }, x f ) ( = { }.
2a max min
b
(2) 当 a< 0 时, 若 x = −∈ q [ f p p , f q] , 则) ( min), ( x f ) ( = { }, 若
2a min
b
x = − q f p ∉ f [p, q],则) ( max ), ( x f ) ( = { q f p f } ) ( min), , ( x f ) ( = { }.
2a max min

依据:若 0 ) n m( f f ) ( < ,则方程 f (x) = 0 在区间) , ( m n 内至少有一个实根.
设 f (x) = x2 + px + q ,则
q ⎧ p ≥ 2 0 − 4
⎪
(1)方程 f (x) = 0 在区间(m,+∞) 内有根的充要条件为 f (m) = 0 或⎨ p ;
> ⎪− m
⎩ 2
⎧ 0 m f ) ( >
⎪ 0 n f ) ( >
⎪
(2)方程 f (x) = 0 在区间) , ( m n 内有根的充要条件为 0 ) n m( f f ) ( < 或 q ⎨ p ≥ 2 0 − 4
⎪
p
n ⎪ m < < −
⎩⎪ 2
⎧ 0 m f ) ( = ⎧