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考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例
一、选择题
1.(2013·上海高考理科·T18)在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,、最大值,其中,,则满足( ).
A. B. C. D.
【解析】选D.,只有,其余均有,故选D.
2.(2013·大纲版全国卷高考文科·T3)与(2013·大纲版全国卷高考理科·T3)相同
已知向量( )
A. B. C. D.
【解题指南】利用得化简求解.
【解析】,所以,即,解得.
3. (2013·湖南高考理科·T6)已知是单位向量,=( )
A. B.
C. D.
【解题指南】本题首先弄懂向量是一组正交基底,且,构造,当时,利用圆的知识可求得结果。
【解析】,
而,向量的终点在单位圆上,故||的最大值为
最小值是,故选A.
4. (2013·重庆高考理科·T10)在平面上,,,.若,则的取值范围是
A. B. C. D.
【解析】⊥,
所以·=(-)·(-)
=·-·-·+=0,
即·-·-·=-,
因为=+,所以-=-+-,
即=+-.
因为||=||=1,
所以=1+1++2(·-·-·)=2++2(-)=2-,
因为||<,所以0≤<,
所以0≤2-<,
所以<≤2,即||∈.
5.(2013·安徽高考理科·T9)在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是( )
A. B. C. D.
【解题指南】根据题设条件作出点集P所在的区域计算其面积即可。
【解析】,
又,
故同理可得,满足的点所在的区域如图所示,其中是正三角形,其面积为,故所求区域的面积为。
6.(2013·湖南高考文科·T8).已知是单位向量,=( )
A. B. C. D.
【解题指南】本题首先弄懂向量是一组正交基底,且,构造,当时,利用圆的知识可求得结果。
【解析】选C,条件可以理解成如图的情况
而,向量的终点在单位圆上动,故||的最大值为
7.(2013·福建高考文科·T10)与(2013·福建高考理科·T7)相同
在四边形( )
A. B. C. D.
【解题指南】先计算AC与BD的位置关系,再利用面积公式求解.
【解析】,所以是互相垂直的对角线,所以.
8. (2013·浙江高考理科·T7)设△ABC,是边上一定点,,且对于边上任一点,恒有,则( )
A. B. C. D.
【解题指南】由于是边上任一点,所以可设,再由数量积和已知不等式求解.
【解析】选D. 设,,
,因为,所以
,所以,即
,当时,对恒成立,即
,所以;当时,恒成立,所以,综上可得,又
所以,即.
二、填空题
9. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T13)与(2013·新课标Ⅰ高考理科·T13)相同
已知两个单位向量,的夹角为60°,,若,则_____.
【解题指南】由于条件中给出了,所以可以将的两边同时乘以进行求解.
【解析】由得,,
解得,
化简得,所以.
【答案】.
10. (2013·天津高考