三角函数·函数地周期性.doc

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三角函数·函数的周期性
 
教学目标
1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性．
2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．
3．培养学生根据定义进展推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力．
教学重点与难点
函数周期性的概念．
教学过程设计
师：上节课我们学****了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：
〔教师把图画在黑板左上方．〕
师：通过观察，同学们有什么发现？
生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现．
师：规律是什么？
生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
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师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．〔教师在黑板左上方写出课题〕
师：我们先看函数周期性的定义．〔教师板书〕
定义  对于函数y=f〔x〕，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f〔x+T〕=f〔x〕都成立，那么就把函数y=f〔x〕叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．
师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．
生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f〔x+T〕=f〔x〕．
师：找得准！那么为什么要这样规定呢？
师：如果T=0，那么f〔x+T〕=f〔x〕恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期〞的意义了．“每一个值〞的含义是无一例外．
师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？
生：如果x属于y=f〔x〕的定义域，如此T+x也应属于此定义域．
师：对．否如此f〔x+T〕就没有意义．
师：函数周期性的定义有什么用途？
生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．
师：下面我们看例题．
〔教师板书〕
例1  证明y=sinx是周期函数．
生：因为由诱导公式有sin〔x+2π〕=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．
例2
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师：要想判断T是不是函数y=f〔x〕的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？
对于定义域内的每一个x，都有f〔x+T〕=f〔x〕，而不是有〔存在着〕某一个x，使f〔x+T〕=f〔x〕成立．要想证明T不是周期，只要找到一个x0，使得f〔x0+T〕≠f〔x0〕即可．所以乙是正确的．
师：分析得好！同学对概念的学****应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学****打下结实的根底．
例3  f〔x+T〕=f〔x〕〔T≠0〕，求证f〔x+2T〕=f〔x〕．
师：此题用文字如何表示？谁能给予证明？
生：假如不等于零的常数T是f〔x〕的一个周期，证明2T仍是f〔x〕的周期．
因为T是f〔x〕的周期，所以f〔x+T〕=f〔x〕，f［〔x+T〕+T