平面几何中的向量方法.docx

平面向量应用举例
平面几何中的向量方法
教学目标
.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
.明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算
及数量积表示.
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题^
教学过程
导入新课
前言：向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量

节专门研究平面几何中的向量方法^
新知探究提出问题①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形
对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗
②你能利用所学知识证明你的猜想吗能利用所学的向量方法证明吗试一试可用哪些方法③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗
证明：方法一：如图2.
作CHAB于E,DF，AB于F,则RtAADF^RtABCE.
•.AD=BC,AF=
A^+C^=(AB+BE)2+C^=A^+2AB•BE+BE+C^=A^+2AB-BE+BC2.
BD2=Br+DF=(AB-AF)2+D^=A^-2AB-AF+A：+dV=aJ2AB-AF+AD2=AB2-
2AB•BE++BD2=2(AB2+BC2).
方法二：如图3.
以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.
设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).
|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,
|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.
「.IAC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量
问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
应用示例例1如图4,二'ABCD中，点E、F分别是ADDC边的中点，BE、BF分别与AC交于RT两点，你
能发现ARRT、TC之间的关系吗
解：如图4,
设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b.
由于AR与蔽共线，所以我们设r=n(a+b),n€R
又因为EB=AB-AE=a——b,
ER与EB共线，所以我们设ER=mEB=m(a--b).
2
———11一.，1
因为ARAEER,所以r=—b+m(a--b).因此n(a+b)=—b+m(a-b),
222
一m1
即(n-m)a+(n+)b=、b不共线，要使上式为0,必须
nm0,
1m1解得n=m=—