中考专题中线倍长法及截长补短.docx

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实用标准文案
几何证明中常用辅助线
(一)中线倍长法:
例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD﹤1(AB+AC)
2
分析：要证明AD﹤1(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和
2
大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。
在△ADB和△EDC中，
AD=DE
A
∠ADB=∠EDC
BD=DC
∴△ADB≌△EDC(SAS)
B
D
C
AB=CE
又 在△ACE中，
E
AC+CE＞AE
AC+AB＞2AD，即AD﹤1(AB+AC)2
小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
课题练****ABC中，AD是 BAC的平分线，且 BD=CD，求证AB=AC
A
B C
D
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ABC中，
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例2:中线一倍辅助线作法
A
A
△ABC中
方式1：延长AD到E，
AD是BC边中线
使DE=AD，
B
C
B
C
连接BE
D
方式2：间接倍长
D
E
A
A
作CF⊥AD于F，
延长MD到N，
F
作BE⊥AD的延长线于E
M
使DN=MD，
连接BE
连接CD
B
D
C
D
B
C
E
N
例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，
求证：BD=CE A
D
B C
F
E
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课堂练****已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，且
AC于例5：已知：如图，在 AB AC，D、E
在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分 BAC
B
B

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BE=AC，延长BE交
A
F A
E
F
D C
D E C
第1题图
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实用标准文案
课堂练****已知 CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠ C=∠BAE
A
B C
E D
作业：
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
A
D
B E C
F
2、已知：如图，
ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分
BAC交CM于D，交BC于T，过D
作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
A
M
D
B
E
C
T
3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，且 BE=AC，延长BE交AC于F，
求证：AF=EF
A
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F
E
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B D C
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4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠ C=∠BAE
A
B C
E D
5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段