中考压轴题二次函数中存在性问题之平移.docx

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二次函数中的存在性问题之平移
【典例1】（2019?乐山）如图，已知抛物线 y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于 A、B两点，与 y轴
交于C点，且tan∠CAB ．设抛物线的顶点为 M，对称轴交 x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）
P
为抛物线的对称轴上一点，
（
，0）为
x
轴上一点，且
⊥．
Qn
PQPC
①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求 n的变化范围；
②在①的条件下，当 n取最大值时，求点 P到线段CQ的距离；
③在①的条件下，当 n取最大值时，将线段 CQ向上平移t个单位长度，使得线段 CQ与抛物线有两
个交点，求 t的取值范围．
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【点拨】（1）由函数解析式，可以求出点
、
B
的坐标分别为（﹣
2，0），（6，0），在Rt△
中由
A
OAC
tan∠CAB，可以求出点
C的坐标为（0，3），进而可以求出抛物线的解析式；
（2）①抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），在Rt△PCQ中，由勾股定理得：
2
2
2
PC+PQ＝CQ，
把三角形三边长用点
，
的坐标表达出来，整理得：
，利用0≤≤4，求出
n
的取
PQ
m
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值范围；
②由 ，得： ，求出点 P到线段CQ距离为2；
③设线段 CQ向上平移t个单位长度后的解析式为： ，联立抛物线方程，可求出 x2
﹣7x+4t＝0，由△＝49﹣16t＝0，得 ，可得当线段 CQ与抛物线有两个交点时， ．
【解答】解：（1）根据题意得： A（﹣2，0），B（6，0），
在Rt△AOC中，∵ ，且OA＝2，得CO＝3，∴C（0，3），将C点坐标代入 y＝a（x+2）
（x﹣6）得： ，
抛物线解析式为： ；
整理得：y
故抛物线解析式为：得： y ；
2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），设P点坐标为（2，m）（其中0≤m
4），
2 2 2 2 2 2 2 2 2
则PC＝2+（m﹣3），PQ＝m+（n﹣2），CQ＝3+n，
PQ⊥PC，
2 2 2
∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得： PC+PQ＝CQ，
即22+（﹣3）
2+2+（
﹣2）
2＝32+2，整理得：
（0≤≤4），
m
mn
n
m
∴当 时，n取得最小值为 ；当m＝4时，n取得最大值为 4，
所以 ；
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②由①知：当 n取最大值4时，m＝4，
∴P（2，4），Q（4，0），
则 ， ，CQ＝5，
设点P到线段CQ距离为h，
由 得： ，
故点P到线段CQ距离为2；
③由②可知：当 n取最大值4时，Q（4，0），∴线段CQ的解析式为： ，
设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为： ，
当线段CQ向上平移，使点 Q恰好在抛物线上时，线段 CQ与抛物线有两个交点，此时对应的点 Q'的
纵坐标为： ，
将Q'（4，3）代入 得：t＝3，
当线段CQ继续向上平移，线段 CQ与抛物线只有一个交点时，
联解
得：
，化简得：
x
2﹣7+4＝0，
xt
由△＝49﹣16t＝0，得 ，
∴当线段CQ与抛物线有两个交点时， ．
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【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形
结合的思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题．
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【精练1】（2019?湘西州）如图，抛物线 y＝ax+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在
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线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交