数值分析第四章数值积分与数值微分习题复习资料[002].doc

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第四章 数值积分及数值微分
，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进展验证性求解。
〔1〕假设
令，那么
令，那么
令，那么
从而解得
令，那么
故成立。
令，那么
故此时，
故
具有3次代数精度。
〔2〕假设
令，那么
令，那么
令，那么
从而解得
令，那么
故成立。
令，那么
故此时，
因此，
具有3次代数精度。
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〔3〕假设
令，那么
令，那么
令，那么
从而解得
或
令，那么
故不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
〔4〕假设
令，那么
令，那么
令，那么
故有
令，那么
令，那么
故此时，
因此，
具有3次代数精度。
：
解：
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
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3。直接验证柯特斯教材公式〔2。4〕具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为
令，那么
令，那么
令，那么
令，那么
令，那么
令，那么
令，那么
因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。用辛普森公式求积分并估计误差。
解：
辛普森公式为
此时，
从而有
误差为
5。推导以下三种矩形求积公式：
证明：
两边同时在上积分，得
即
两边同时在上积分，得
即
两连边同时在上积分，得
即
6。假设用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？假设改用复化辛普森公式，要到达同样精度区间应分多少等分？
解：
采用复化梯形公式时，余项为
又
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故
假设，那么
当对区间进展等分时，
故有
因此，将区间213等分时可以满足误差要求
采用复化辛普森公式时，余项为
又
假设，那么
当对区间进展等分时
故有
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为
又且
又
即计算值比准确值大。
其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
8。用龙贝格求积方法计算以下积分，使误差不超过.
解：
0

1


2



3




因此
0

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因此
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2