数值分析题库及复习资料.doc

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模 拟 试 卷〔一〕
一、填空题〔每题3分，共30分〕
1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.
2．设，，那么=  .，= ______.
3．y=f(x)的均差〔差商〕，，，, 那么均差= .
4．n=4时Newton－Cotes求积公式的系数分别是：那么＝ .
5．解初始值问题的改良的Euler方法是 阶方法；
6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为 ， 假设取, 那么 .
7．求方程根的牛顿迭代格式是                    .
8．是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，那么
9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是 .
10．设，那么的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .
二、综合题〔每题10分，共60分〕
1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，
2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出
其代数精度.
3．用Newton法求方程在区间内的根, 要求.
4．用最小二乘法求形如的经历公式拟合以下数据：
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19
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5．用矩阵的直接三角分解法解方程组
6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式
其中.
三、证明题〔10分〕
设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足的任意，迭代格式均收敛于的根.
参考答案
一、填空题
1．5； 2. 8, 9 ; 3. ； 4. ； 5. 二；
6. , (，，)
7. ; 8. ; 9. ;
10.
二、综合题
1．差商表：
1
1
1
2
2
15
15
15
57
57
20
20
42
72
15
22
30
7
8
1
其他方法：
设
令，，求出a和b.
2．取，令公式准确成立，得：
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时，公式左右；时，公式左, 公式右
∴ 公式的代数精度.
3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间〔2，4〕内。设
那么， ，Newton法迭代公式为
取，得。
 4． ，，.
解方程组，其中 ，
解得：
所以， .
5．解 设
由矩阵乘法可求出和
解下三角方程组
有，，，.
再解上三角方程组
得原方程组的解为，，，.
6 解 初值问题等价于如下形式，
取，有，
利用辛卜森求积公式可得.
三、证明题
证明 将写成，
由于 ，所以
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所以迭代格式均收敛于的根.
模 拟 试 卷〔二〕
一、填空题〔每题3分，共30分〕
1．，那么其有效位数分别有 位和 位 ；
2． 设，，那么= ________，= .
3．对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩阵是=________.
4．设，那么差商=__________，=_______.
5．, 那么条件数_________.
6．为使两点的数值求积公式具有最高的代数准确度，那么其求积基点应为=__________， =__________
7．解初始值问题近似解的梯形公式是
8．求方程根的弦截法迭代公式是                    
9. 计算积分，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ， 用辛卜生公式计算的结果是
10．任一非奇异矩阵的条件数＝ ，其一定大于等于
二、综合题〔每题10分，共60分〕
1 证明方程在区间有且只有一个根，假设利用二分法求其误差不超过近似解，问要迭代多少次？
2 常微分方程的初值问题：
试用改良的Euler方法计算的近似值，取步长.
用矩阵的分解法解方程组 .
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4 用最小二乘法求一个形如的经历公式，使它及以下数据拟合.
x





y





5 设方程组，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代法的收敛性。
6 按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值，取初始向量，迭代两步求得近似值即可.