数列知识点及常用结论.doc

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数列知识点及常用结论
一、等差数列
〔1〕等差数列的根本公式
①通项公式： 〔从第1项开场为等差〕
〔从第m项开场为等差〕
②前项和公式：
〔2〕证明等差数列的法方
①定义法：对任意的n，都有〔d为常数〕为等差数列
②等差中项法：〔n〕为等差数列
③通项公式法：=pn+q (p，q为常数且p≠0) 为等差数列
即：通项公式位n的一次函数，公差，首项
④前项和公式法： (p， q为常数) 为等差数列
即：关于n的不含常数项的二次函数
〔3〕常用结论
①假设数列，为等差数列，那么数列，，，
(k， b为非零常数)均为等差数列.
②假设m+n=p+q (m，n，p，q)，那么=.
特别的，当n+m=2k时，得=
③在等差数列中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：，，，仍为公差为3d的等差数列)
④假设数列为等差数列，那么记，，，那么，，仍成等差数列，且公差为d
⑤假设为等差数列的前n项和，那么数列也为等差数列.
⑥ 此性质对任何一种数列都适用
⑦求最值的方法：
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I: 假设>0，公差d<0，那么当时，那么有最大值,且最大；
假设<0，公差d>0，那么当时，那么有最小值，且最小；
II：求前项和的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数，
当 时，为最值，是最大或最小，通过的开口来判断。
二、等比数列
〔1〕等比数列的根本公式
①通项公式： 〔从第1项开场为等比〕
〔从第m项开场为等差〕
②前项和公式：，
〔2〕证明等比数列的法方
①定义法：对任意的n，都有(q0) 为等比数列
②等比中项法：〔0〕为等比数列
③通项公式法：为等比数列
〔3〕常用结论
①假设数列，为等比数列，那么数列，，，，
(k为非零常数) 均为等比数列.
②假设m+n=p+q (m， n， p， q)，那么=.
特别的，当n+m=2k时，得=
③在等比数列中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为 (例如：，，，仍为公比的等比数列)
④假设数列为等差数列，那么记
那么，，仍成等比数列，且公差为
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三、求任意数列通项公式的方法
〔1〕累加法：假设满足an+1=an+f(n)利用累加法求：
例题：假设，且，求：
练****题：假设数列满足，且
〔2〕累乘法：假设满足利用累乘法求：
例题：在数列{an}中，，求：.
练****题：在数列{an}中，且，求： 〔提示：〕
〔3〕递推公式中既有，又有，用逐差法
特别注意：该公式对一切数列都成立。
〔4〕假设满足，那么两边加：，在提公因式P，构造出一个等比数列，再出求：
例题：数列，满足：，且，求：〔5〕假设满足，那么两边同时除以：，构造出一个等差数列，
再求出：
例题：满足：，求：
解：，既有：
所以：是首项为：，公差的等差数列
所以：
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