证明不等式的方法--论文.doc

证明不等式的方法 1 不等式的基本性质 不等式的概念:表示不相等关系的式子。实数集内的任意两个数 ba, 总是可以比较大小的,如果 ba?是正数,则ba?; 如果 ba?是零,则 ba?;如果 ba?是负数,则 ba?。反过来也对。即有 a≧b0???ba 这里符号?表示等价于。这个定义虽然简单,实际它反映不等式的性质。许多不等式的证明,是从这个定义出发。首先,根据不等式的定义,容易证明下述不等式的简单性质,这些性质是证明其他不等式的基本工具。 ?ab??(对称性) 若ba?,cb?,则ca?(传递性) 若ba?,则cbba???(加法保序性) 若ba?,0?c ,则 bc ac?(乘正数保序性) 若ba?,dc?,则. a c b d ? ??若ba?,dc?,dbca???.0??ba ,0??dc ,则bd ac?. 若ba?,0?ab ,则. 11ba ? 若0??ba ,0??cd , bc a? 若0??ba ,.,N nn nnbaban???,则 若0??ba ,m ,.,N n mn mn mn mbaban ?????,则 含绝对值的不等式??????..... ...4 .3 .0)2( (1) 121 22 22nnaaaaa bababa axaxaxaax baxbaabx axaaxax??????????????????????????????????或 若, R,?ba 则??.0,0 22???baa 若, ??R,ba ab ba??符号当且仅当 ba?时成立。由这个不等式还可以得到另一些常用的不等式: ????.,2 ,,22 22 2????????????????Rbab aa b Ryx yxyx xy 若,,, ??Rcba 3abc cba???符号当且仅当 cba??时成立。 2 证明不等式的基本方法和技巧 比较法比较法是证明不等式的最基本,最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 作差法在比较两个实数 a 和b 的大小时,可借助 ba?的符号来判断. 步骤一般为: 作差——变形——判断(正号、负号、零).变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等. [例子]已知 ba、??R ,求证: abbababa?,等号当且仅只当 ba?时成立。[分析]由于要证的不等式关于 ba, 对称,且式子不复杂,比较的式子都由字母 a,b组成,左右两式存在公因式 a bb b,可考虑用作差法来做,作差判断符号。[证明]设0??ba .??,0 ,0?????????bababbabbababababa ba?从而原不等式得证。显然上面的不等式当且仅?? baba baba????时等号成立,故原不等式当且仅当 a b ?时成立等号。[评价]因为做差法是根据差值的符号来判断,所以在比较差值的时候容易出错,一定要谨慎。 作商法在证题时,一般在 a ,b 均为正数时,借助 1?b a a 或1?b a 来判断其大小, 步骤一般为