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数学证明方法
摘要:数学证明是数学学****中非常重要的一局部,数学证明有核实作用,理解作用,发现作用和思维训练作用,数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。
关键词:数学证明;意义;方法
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,它的应用非常广泛,是学****现代科学技术必不可少的根底学科。学****数学,就离不开数学证明,这是由数学证明在数学开展中所起的作用决定的。,法那么等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学****中非常重要的一局部,在不同的情境中,数学证明有不同方法。
数学证明的方法
〔一〕综合法和分析法
综合法是从命题的条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后到达要证的结论的方法。分析法那么是从要证的结论出发,一步一步的搜索下去,最后到达命题的条件的方法。
例1 求证=
方法1:左边 ===右边
所以得证。
方法2:右边===
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= ==左边
所以得证。
方法3:==tan==
所以得证。
方法4:要证=只需要证
即要证,显然,这个命题成立,故得证。
上述例题的四种解法中,前三种是用综合法解的,而第四种解法是用分析法解的。在证明的过程中,我们用到了同角三角函数的关系,半角公式等等。所以,通过数学证明我们不仅理解了这道命题的正确性,还知道了为什么正确,同时还增进了对同角三角函数的关系,半角公式等等的理解。
从例1我们可以看出,综合法的特点是从"〞逐步推向"未知〞,其逐步推理,实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从"需知〞逐步靠拢"〞,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件。
综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看,综合法是由的寻找未知的,即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论,因而不容易有效。分析法由未知的推向的,即由结论慢慢推出所需要的条件,这样比较容易解决问题。就表述证明的过程而论,综合法的形式比较简洁,条理清晰,分析法由于倒过来表达,因而比较繁琐,文辞冗长。这也就是说,分析法有利于思考解决问题,综合法宜于表达问题。因此在解题时,可以把分析法和综合法结合起来使用,先以分析法为主,寻找解题思路,再用综合法有条理的表述证明过程。
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(二)反证法
通过证明论题的否认命题不真实,从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。
反证法的一般步骤如下:
假设命题的结论不成立,即结论的否认命题成立。
从否认的结论出发,逐层进展推理,得出与公理或前述的定理,定义或题设条件等自相矛盾的结论,即说证明结论否认不成立。
据排中律,最后肯定原命题成立。
反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能情况,只要把这种情况推翻,就能肯定结论成立,这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况,就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒,才能肯定结论成立,这种反正法叫做穷举法。
例 2求证是无理数。
证明:假设是有理数,且为既约分数,〔p>0,q>0〕,那么=2,,由此可
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