第二章-2.3恰当微分方程与积分因子.ppt

1 进一步把平等看待,写成下面形式的一阶微分方程, x y§. 恰当方程和积分因子( , ) dy f x y dx ?一阶常微分方程的一般形式为可改写成微分的形式(或对称的形式) ( , ) 0 f x y dx dy ? ? M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0 () 2 其中和是在平面上某区域内的已知连续函数,且在内的每一点处, 和不同时为零。如果方程( 的左端是某一个已知函数的全微分,即( , ) N x y ( , ) M x y D D ( , ) M x y ( , ) N x y ( , ) u x y ( , ) ( , ) M x y dx N x y dy du ? ?那么就说方程() 是恰当微分方程或全微分方程。 恰当微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 () 3 复****全微分的定义如果二元函数在平面区域内的偏导数存在, 且在内连续,则函数在 D内可微,且有( , ) u u x y ?, x y u u D x y du u dx u dy ? ? D4 由全微分的定义,有因此,当而且仅当存在函数,使得( , ) u u x y ?( , ), ( , ) () u u M x y N x y x y ? ?? ?? ?时,方程( ) 是恰当微分方程,并可写成下列形式( , ) 0 du x y ?结论: 关系式( , ) () u x y c ?就是恰当微分方程的通解,这里 c是积分常数。 u u du dx dy x y ? ?? ?? ? 5 如 0?? ydx xdy0)2()3( 322????dy xy xdx yyx0)()(??dy ygdx xf是恰当方程. ?)( xy d??)( 23 xy yxd????))()((ydygxdxfd例:求方程[ xcos ( x+y ) +sin ( x+y )] dx+xcos ( x+y )dy =0 的通解。解:不能直接用观察法找出 u(x, y), 那么它是恰当方程吗? 如果是如何找 u( x,y )? 6 需考虑的问题: (1) 方程(1) 是否为恰当方程?(判别) (2) 若(1) 是恰当方程,怎样求解?(方法) ⑶若(1) 不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?(技巧) 2 . 方程为恰当方程的充要条件定理 1 则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数, ),(),(R yxNyxM)1(,0),(),(??dy yxNdx yxM为恰当方程的充要条件是).2(, ),(),(x yxNy yxM?????)1(,0),(),(??dy yxNdx yxM7 证明“必要性”设(1) 是恰当方程, 使得则有函数),,(yxu dy y udx x uyxdu??????),( dy yxNdx yxM),(),(??故有),,(yxMx u???),(yxNy u???从而 2, M u y y x ? ??? ?? 2. N u x x y ? ??? ??从而有都是连续的和由于, 22yx uxy u??????, 22yx uxy u???????故. ),(),(x yxNy yxM????? 8 “充分性”, x yxNy yxM?????),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y 满足则需构造函数),,(yxu)4(,),(),(),( dy yxN dx yxMyx du??即应满足)5( ),,(yxMx u???)6( ),,(yxNy u??????).(),(),(ydx yxM yxu? 9 ,)(的任意可微函数是这里 yy????y u因此?????)7(),( )(dx yxMy Ndy yd?,)7(无关的右端与下面证明 x的偏导数常等于零即对 x 事实上]),([??????dx yxMy Nx]),([?????????dx yxMyxx N )6( ),,(yxNy u???即同时满足使下面选择),6( ),(uy?????dy yddx yxMy )(),( ?N????).(),(),(ydx yxM yxu?10 ]),([?????????dx yxMxyx Ny M x N??????.0?积分之得右端的确只含有于是,)7(,y,