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2014年高考数学 专题10 圆锥曲线考纲解读及热点难点试题演练.doc


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2014年高考数学 专题10 圆锥曲线考纲解读及热点难点试题演练.doc
文档介绍:
专题 10 圆锥曲线-2014 年高考数学考纲解读及热点难点试题演练(1) 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质, B 级要求; (2) 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质, A 级要求; (3) 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质, A 级要求;曲线与方程, A 级要求. (4) 有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 1 .圆锥曲线的定义(1) 椭圆: | MF 1|+| MF 2|=2a (2a >|F 1F 2 |); (2) 双曲线: || MF 1|-| MF 2 ||=2a (2a <|F 1F 2 |). 2 .圆锥曲线的标准方程(1) 椭圆: x 2a 2+ y 2b 2= 1(a>b >0)( 焦点在 x 轴上)或 y 2a 2+ x 2b 2= 1(a>b >0)( 焦点在 y 轴上); (2) 双曲线: x 2a 2- y 2b 2= 1(a >0,b >0)( 焦点在 x 轴上)或 y 2a 2- x 2b 2= 1(a >0,b >0)( 焦点在 y 轴上). 3 .圆锥曲线的几何性质(1) 椭圆: e= ca =1- b 2a 2; (2) 双曲线: ①e= ca =1+ b 2a 2. ②渐近线方程: y=± ba x或y=± ab x. 4 .求圆锥曲线标准方程常用的方法(1) 定义法(2) 待定系数法①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为 y 2=2 ax或x 2=2 ay(a≠ 0) ,避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时 a 不具有 p 的几何意义; ②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为 x 2m + y 2n = 1(m>0,n> 0); 双曲线方程可设为 x 2m - y 2n = 1( mn> 0). 这样可以避免讨论和繁琐的计算. 5 .求轨迹方程的常用方法(1) 直接法:将几何关系直接转化成代数方程; (2) 定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程; (3) 代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系; 注意: ①建系要符合最优化原则; ②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形, 而轨迹方程则是代数表达式;③化简是否同解变形, 是否满足题意, 验证特殊点是否成立等. 6 .有关弦长问题有关弦长问题,应注意运用弦长公式;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算. (1) 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2), 则所得弦长|P 1P 2|=1+k 2|x 2 -x 1|或|P 1P 2|= 1+ 1k 2|y 2-y 1 |. (2) 弦的中点问题有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”来简化运算. 7 .圆锥曲线中的最值(1) 椭圆中的最值 F 1,F 2 为椭圆 x 2a 2+ y 2b 2= 1(a>b> 0) 的左、右焦点,P 为椭圆上的任意一点,B 为短轴的一个端点, O 为坐标原点,则有①| OP|∈[b,a]; ②| PF 1|∈[a-c,a+c]; ③| PF 1|·| PF 2|∈[b 2,a 2]; ④∠ F 1 PF 2≤∠F 1 BF 2. (2) 双曲线中的最值 F 1,F 2 为双曲线 x 2a 2- y 2b 2= 1(a>0,b> 0) 的左、右焦点,P 为双曲线上的任一点,O 为坐标原点, 则有①| OP|≥a; ②| PF 1|≥c-a.8 .定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 9 .解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系,根据目标函数或不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量, 其原则是这个变量能够表达要解决的问题, 这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理. 考点 1、圆锥曲线的定义与标准方程【例 1】设双曲线与椭圆 x 2 27 + y 2 36 =1 有共同的焦点, 且与椭圆相交, 一个交点的坐标为( 15, 4) ,则此双曲线的标准方程是________________ . 【解析】法一 x 2 27 + y 2 36 =1 的焦点坐标是(0,± 3) ,设双曲线方程为 y 2a 2- x 2b 2= 1(a >0,b >0) , 根据定义 2a=| 15 2+1 2- 15 2+7 2|=4,故a= 2.又b 2=3 2-2 2=5, 故所求双曲线方程为 y 24 - x 25 = 1. 法二 x 2 27 + y 2 36 =1 的焦点坐标是(0,± 3), 设双曲线方程为 y 2a 2- x 2b 2= 1(a >0,b >0) ,则a 2+b 2=9, 16a 2- 15b 2=1 ,解得 a 2=4,b 2=5 ,故所求双曲线方程为 y 24 - x 25 = 1. 【方法技巧】本例可有三种解法:一是根据双曲线的定义直接求解,二是待定系数法;三是共焦点曲线系方程,其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系,再根据另外的条件求出参数. 【变式探究】在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F 1,F 2在x 轴上,离心率为 22 .过F 1 的直线 l交C于A,B 两点,且△ ABF 2 的周长为 16 ,那么椭圆 C 的方程为____________ . 考点 2、圆锥曲线的几何性质【例 2】(2013 · 浙江卷改编) 如图, F 1,F 2 是椭圆 C 1: x 24 +y 2=1 与双曲线 C 2 的公共焦点, A, B 分别是 C 1,C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形 AF 1 BF 2 为矩形,则C 2 的离心率是________ . 【规律方法】求解圆锥曲线的离心率,基本思路有两种:一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出 a,c, 然后根据离心率的定义式求解; 二是根据已知条件构造关于 a,c 的方程,多为二次齐次式,然后通过方程的变形转化为离心率 e 的方程求解,要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数. 【变式探究】(1) 已知双曲线 x 2a 2- y 2b 2= 1(a >0,b >0) 的两条渐近线与抛物线 y 2=2 px(p >0) 的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,△ AOB 的面积为 3,则p= ________. (2) 椭圆 x 2a 2+ y 2b 2= 1(a>b >0) 的焦距为 2c, 若直线 y=2x 与椭圆的一个交 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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