广东省2016年全国卷适应性考试理科数学试题[来源：学优高考网1168896].doc

2016年适应性考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．（精品文档请下载）
1．集合，，那么( ）
A． B． C． 设函数(）．
（1）求的单调区间；
（2）求的零点个数；
(3)证明：曲线上没有经过原点的切线．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,假设多做,那么按所做的第一题记分，作答时请写清题号．
22．（本小题总分值10分）选修4—1：几何证明选讲
如以下图，是半圆的直径，，垂足为，，和、分别交于点、．
（1）证明：；
（2）证明：．
23．（本小题总分值10分）选修4—4：坐标系和参数方程
在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为点．（精品文档请下载）
（1）求直线的参数方程;
(2）求的值．
24．（本小题总分值10分）选修4—5:不等式选讲
设函数．
(1）当时，求不等式的解集；
(2）假设时有，求的取值范围．
2016年适应性测试理科数学答案
一．选择题
（1）B （2)C （3）C （4）C （5）B （6）D
（7）D (8)A （9)D （10)D （11）D （12）C
二．填空题
（13） (14）4 (15) （16)2
三．解答题
(17）解：
（Ⅰ),由正弦定理得：
，
………6分
…
…
又，.
（Ⅱ）由,由。
由余弦定理 .
………12分
…
…
。
………4分
…
…
（18）解：
(Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元。
（Ⅱ)年薪高于5万的有6人,低于或等于5万的有4人;取值为0，1，2.
，，，
所以的分布列为
0
1
2
………8分
…
…
数学期望为.
（Ⅲ)设分别表示工作年限及相应年薪，那么,

………12分
…
…
由线性回归方程：。
可预测该员工年后的年薪收入为8。5万元。
（19）解：
（Ⅰ），，

，
；
又因为,, ,而.
………6分
…
…
。
平面。
（Ⅱ)过作,分别交于,的补角为和所成的角。连接，.
………12分
…
…
所以异面直线和所成的角的余弦值为。
向量法:
（Ⅰ)以为原点，向量,，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，那么，，,。
，，
，，
，。
,.
,.
，，，
………6分
…
…
.
（Ⅱ)，，记和夹角为，那么
………12分
…
…
.
（20）解：
（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为，.
联立，
消去并整理得。 (＊)
(＊）关于的一元二次方程的判别式。
设，,那么是方程(＊)的两个不等实根，
经计算得．
设，那么．
类似地，设,那么．
所以，
,
因此．
因为，所以,
………8分
当且仅当，即时,取到最小值4．
（Ⅱ）设线段的中点，由(1）得
，
消去后得．
………12分
∴线段的中点满足的方程为．
（21）解：
(Ⅰ）的定义域为,.
令，得.
(1）当，即时，，所以在内单调递增.
（2)当,即时，由解得
,,且,
在区间及内,，在内，，
…4分
所以，在区间及内单调递增，在内单调递减.
（Ⅱ)由（Ⅰ）可知，当时，在内单调递增，所以 最多只有一个零点。
又因为,所以，当且时，；当且时，,故有且仅有一个零点.
当时,因为在及内单调递增，在内单调递减,且
而,
（),
，由此知，
又因为当且时，，
故在内有且仅有一个零点.
………8分
综上所述，当时，有且仅有一个零点。
（Ⅲ）假设曲线在点（）处的切线经过原点，
那么有，即，
化简得：（）.（*）
记（），那么，
令，解得.
当时,，当时，，
所以是的最小值,即当时，。
…12分
由此说明方程(＊）无解,所以曲线没有经过原点的切线.
（22)解：
（Ⅰ)连接，， ，
点是的中点,。
因为是的直径，所以。
。