各类积分的关系.docx

学院：统计与数学学院
班级：信息与计算科学
学号：902094135
导师；毕远宏
姓名：贾建慧
各类积分之间的关系
积分有不定积分、定积分以及二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面成对a,b的一个分割，记为T={x0,x1,⋯xn}或∆1，∆2，⋯∆n小区间∆i的长度
为∆xi=xi-xi-1,并记‖T‖=max1≤i≤n∆x称为分割T的模。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。
黎曼积分
定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间a,b上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。
定积分的分点问题
定积分是把函数在某个区间上的图象a,b分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和****惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距∆x是相等的。但是必须指出，即使∆x不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=fx1 ∆x1+fx2 ∆x2+……fxn-1∆xn-1,那么当n→+∞时，∆x的最大值趋于0，所以所有的∆x趋于0，所以S仍然趋于积分值.
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼茨公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。
三、定积分与不定积分的关系
不定积分是一个函数，定积分则是一个数值。求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；求一个函数相应于闭区间的一个带标志点分划的黎曼和关于这个分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个
闭区间上的定积分。求不定积分时，还可以利用现成的积分表。在积分中所有的积分公式是按被积函数分类编排的，人们只要根据被积函数的类型，或经过适当的变形化为表中列出的类型，查阅公式即可。
三、反常积分：
定义1：设函数f定义在无穷区间a,+∞上，且在任何有限区间a,u上可积。如果存在极限
(1)则称此极限J为函数在a,+∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作并称收敛。如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散。类似地，可定义f在-∞,b上的无穷积分
三、二重积分：
实质：直线上函数的积分，积分对象是直线元 dx。
对称性：
积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0： 被积函数是关于Y的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍
方法：累次积分，即先固定一个变量，对另一个变量积分，再对另一个变量积分。
四、三重积分
实质：对空间上的三元函数积分，积分对象是dxdydz。
对称性：
积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结
果为0；被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍
方法：累次积分，可以化成三个一次积分（如球坐标代换），也可化成一个二重积分和一个一次积分（如柱坐标代换）。
五、第一型曲线面积分
实质：对曲线上的一元函数积分，积分对象是曲线元ds。
方法：转化成定积分
曲线r=(x(t),y(t),z(t)),则sfx,y