非线性控制系统分析《自动控制原理》.ppt

在系统中, 只要有一个环节或元件有非线性特性,
则整个系统就叫非线性系统, 如下图所示.
上图中, 大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节,
表示非线性系统中线性部分的传递函数.
非线性的特性是各种各样的, 教.
在
的其它各种情况下, 通过对式(8)两边积分
求出
与
间的解析表达式, 不仅求解过程较困难和复杂
即使由解析表达式画相轨迹也不太容易. ~
给出了其它各种情况下二阶线性系统的相轨迹图及关于各
奇点的概念, 请参阅.
(2)等倾线法
等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法. 设
二阶系统一般形式的微分方程如下:
式(11)又可化为:
正是相轨迹方程的导函数, 当
取不同值时,
的值也不同, 即相轨迹上各点的曲线斜率不一样,
但对于一个微分方程, 当初始条件不同时, 其有一簇相
轨迹, 而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得
一条曲线, 这条曲线叫等倾线. 从数学角度分析, 有:
令
为某一常数, 则
是关于
的方程. 当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲
线时, 各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于
例: 设一二阶线性系统的齐次微分方程为:
即
, 此系统在初始条件激励下呈衰减振荡
过程. 由式(13)可得:
令
, 得等倾线方程为:
若令
, 则等倾线如下图所示.
如
则
等倾线如图中蓝线.
依此类推, 取不同的
值, 由
式(15)画出足够密的一簇等倾
线, 然后按各条等倾线所表示
的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连
成一条光滑的曲线, 如左上图所示.
图中相轨迹表示
系统在某一初始条件下的运
动轨迹. 此系统有一对实部为负的共轭复根, 因此在任
何一对初始条件激励下, 其自由运动均呈率减振荡形式
不同初始条件下的各条相轨迹从不同方向趋向于相平面
的原点, 这种奇点叫稳定的焦点.
3. 由相平面图求时间解
曲线
在
相平面上得到的是表示
与
间函数关系的
相轨迹曲线, 但在工程上分析系统时, 往往希望得到比
较直观的
关于时间
的函数图象, 因此要利用相平面
上的相轨迹曲线来确定
的曲线图形.
下图表示相轨迹曲线中的某一段.
若A点对应的时
刻为
, 求B点对应的时刻
可在AB段沿相轨迹运动的方
取若干个点
计算出相邻两点
间的时间增量
, 则系统
从点A运动到B点时, B点的时刻
, 而
的计
算有下面三种方法.
(1)增量法 设相轨迹上两点
位移增量较
小, 设
为两点处相轨迹上速度变量
的平均值, 则:
(2)积分法 设点
对应的时间为
, 点
对应的时间为
, 则
其几何意
义见右图.
(3)圆弧法
设相平面上某条相轨迹的某一段如下图所示.
用圆心
坐标为
, 半径为
的圆上的一段圆
弧来近似表示相轨迹上
两点间的一段曲线.
设这段圆弧上的
任一点坐标为
, 这点与圆心的连
线和横轴正方向间的夹角为
, 则有:
若
点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为
点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为
, 且
. 积分法中的式(17)可转化为:
4. 非线性系统的相平面分析
例1. 继电型非线性系统阶跃响应和斜坡响应的分析.
设系统初始
条件:
(1)单位阶跃输入信号
对
的微分方程式为:
因
与
没有直接关系, 故
设法把
变量换成
变量. 当
时,
代入式(19):
由于
与
为非线性关系, 将式(20)分段线性化,
由右图
得:
区域
令
, 则
等倾线为一组平
行于
轴的直线. 当
时,
相轨迹为一组平行的曲线, 所由相轨迹均趋向于
的直线, 如下图所示.
这一特定的相轨迹如上图
所示.
区域
因相轨迹的斜率始终为-1, 所以相轨迹为一簇平行的斜
率为-1的直线, 见下图.
特定的相轨迹为
区域
相轨迹与区域
类似, 但所有相轨迹均趋向于
直线, 见下图.
特定的相轨迹为
, 最后形成一个极限环.
系统作持
续振荡, 振荡的幅值与
及线性部分的