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种群的相互竞争模型
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当某个自然的环境中只有一种生物的群体(种群)生存时,我们常用Logistic模型来描述它的数量的演变过程,即
易知,x=N是自治系统(1)
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当某个自然的环境中只有一种生物的群体(种群)生存时,我们常用Logistic模型来描述它的数量的演变过程,即
易知,x=N是自治系统(1),x(t)N.
如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它们之间的关系大致可分为以下几种:相互竞争,相互依存,弱肉强食(食饵与捕食者),,.
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模型假设 设甲乙两个种群都生活在同一个自然环境中,其数量变化服从Logistic规律.
记: x1(t), x2(t)分别是甲乙两个种群的数量
r1,r2分别是甲乙两个种群的固有增长率
N1,N2分别是甲乙两个种群的最大容量
于是对种群甲我们有
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于是对种群甲我们有
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这里σ1的意义是:单位数量的乙(相对于N2而言)消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于N1)消耗的供养甲的食物量的σ1倍.
类似,我们有
于是我们得到模型
这里σ1,,我们有σ1σ2 =1.
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其中的第三个平衡点是在σ1,σ2 <1或σ1,σ2 >1的情形下才会得到.
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按照判断平衡点的稳定性的方法,我们先看矩阵
稳定条件
其它平衡点类似处理.
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我们由此得到结论:
不稳定
稳定条件
q
p
平衡点
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注意到平衡点的定义我们可以看出,(4)所描述的种群竞争,我们更关心的是平衡点的全局稳定性,即不论初值如何,.
下面我们根据σ1,σ2 的不同取值范围,直线φ=0, ψ=0的相对位置,讨论如下:
在代数方程组（5）中，记
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我们看到,两条直线将第一象限分成了三个部分,在每一区域内导数符号能够确定:
O
•
•
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O
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O
•
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O
•
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O
•
O
•
O
•
O
•
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最终结论:
不稳定
全局稳定条件
q
p
平衡点
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结果解释:( 我们只解释第一个)
1. σ1<1 ,σ2 >1. σ1<1 意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲, σ2 >1意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙,于是乙终将灭绝,种群甲将趋于最大容量,于是将趋于平衡点P1.
这里σ1的意义是:单位数量的乙(相对于N2而言)消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于N1)消耗的供养甲的食物量的σ1倍.
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种群的相互依存模型
,昆虫可以帮助植物充分授粉,而昆虫也在此过程中获得食物(花粉).人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系.
假设种群甲可以独立存在,服从Logistic规律增长,种群乙的存在有助于甲的增长,因此甲的数量x1(t)满足
假设种群乙离开了甲便不能独立存在,设其死亡率为r2,于是其独立存在时的数量x2(t)满足
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现在甲为乙提供食物,于是甲对乙的增长有促进作用,故
这样模型为
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二维自治系统的稳定性理论
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结论:
p>0,q>0时,平衡点是稳定的;
P<0或q<0时,平衡点是不稳定的.
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