线性代数二次型与对称矩阵的有定性.ppt

线性代数二次型与对称矩阵的有定性
第1页，本讲稿共25页
例3 二次型
有
称此二次型是负定二次型.
相应的矩阵
为负定矩阵.
例4 考虑二次型
有
称此二次型是半负定二次型.
相应的矩阵
称为半负定矩阵.
线性代数二次型与对称矩阵的有定性
第1页，本讲稿共25页
例3 二次型
有
称此二次型是负定二次型.
相应的矩阵
为负定矩阵.
例4 考虑二次型
有
称此二次型是半负定二次型.
相应的矩阵
称为半负定矩阵.
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对于具有对称矩阵 A 的二次型
如果对任何
都有
则称二次型
如果对任何
都有
则称二次型
是负定二次型.
A称为正定矩阵
A称为负定矩阵
是正定二次型.
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对于具有对称矩阵 A 的二次型
如果对任何
都有
则称二次型
如果对任何
则称二次型
是半负定二次型.
A称为半正定矩阵
A称为半负定矩阵
都有
且存在
且存在
使
使
是半正定二次型.
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二次型 是正定的
有
有
二次型 是半正定的
有
且
使
有
且
使
例 二次型
不是 正定的;
(半)
(半)
也不是 负定的.
此时
称为不定的.
二次型 是负定的
二次型 是半负定的
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例 二次型
对任何
故二次型
为正定二次型
故单位矩阵En
为正定矩阵.
第6页，本讲稿共25页
设d1 ,d2 ,…,dn均大于0,
事实上,对任何
故二次型
为正定二次型
故当d1 ,d2 ,…,dn 均大于0时,
为正定二次型
为正定矩阵.
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例 二次型
对任何
故此二次型为半负定二次型.
例 二次型
是不定的.
第8页，本讲稿共25页

为正定矩阵
证 充分性已证.
必要性:
设D是正定矩阵,
则
第9页，本讲稿共25页
定理 设A～B
－
如果A正定,
证由A B 知
～
由于C可逆，
方程组
只有零解.
A正定,
所以矩阵B正定.
则B也正定.
C可逆。
要证
只须证
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是否正定呢?
矩阵为正定矩阵的充分必要条件,
准则2
准则4
准则1
A与单位矩阵 E 合同.
A的特征值都大于零
准则3
f 的正惯性指标为n
以下给出几个
作为判别准则.
存在
使得
矩阵A为正定矩阵
n 元二次型f 正定
矩阵A为正定矩阵
可逆矩阵C,
如何判断一个矩阵或二次型
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准则5 矩阵A为正定矩阵的充分必要 条件是

称为矩阵A的顺序主子式.
A的顺序主子式都大于零.
()
第12页，本讲稿共25页
例 判别下列矩阵或二次型是否正定
∴A正定
解 二次型对应的矩阵为：
∴该二次型正定
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解 二次型对应的矩阵为：
∴二次型不正定
课堂练习
判别二次型是否正定
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例  取何值时,
解 二次型对应的矩阵为：
时，二次型正定.
以下二次型为正定
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证:∵A是实对称矩阵
A的所有特征值
准则4 矩阵A为正定矩阵
A的特征值都大于零
∴A ～
A正定
A的所有特征值
∴存在正交矩阵Q,使得
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准则2 矩阵A为正定矩阵
A与单位矩阵E合同.
∵A是实对称矩阵
A的所有特征值
证 充分性:若
则由于 E 正定,
必要性: 设A正定,
则A的特征值都大于0
则PT=P
P 与Q都可逆,故
故A正定.
∴存在正交矩阵Q,使得
也可逆，
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准则3 n 元二次型f正定
f 的正惯性指标为n
证 设 f = xTAx
其对应的矩阵A正定
存在可逆矩阵C，使得
经过非退化线性替换
二次型化为
f 的正惯性指标为n
二次型 正定
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正定矩阵的性质:
(1) 若A正定,
证法1 ∵A正定
A－1的特征值都大于0，
证法2 ∵A正定
即存在可逆矩阵C，使得
故A－1正定.
D可逆
则A