向量组与矩阵的秩.ppt

1 湖南科技大学吴晓勤第三章向量组与矩阵的秩§1n维向量§2 线性相关与线性无关§3 线性相关性的判别定理§4 向量组的秩与矩阵的秩§5 矩阵的初等变换§6 初等矩阵与求矩阵的逆§7 向量空间 2 湖南科技大学吴晓勤向量: 既有大小又有方向的量. 向量表示: 以1M 为起点,2M 2M??a ? 21MM 零向量: 模长为 ?||a ? 21MM | | 向量的模: 、三维向量谈起或或单位向量: 模长为 1的向量. 或 3 湖南科技大学吴晓勤定义 1n个数组成的有序数组( a 1,a 2,…,a n) 称为一个 n维向量,简称向量。?????????????? na a a? 2 1或用小写的粗黑体字母来表示向量。行向量列向量§ 1 n维向量 4 湖南科技大学吴晓勤数a 1,a 2,…,a n称为这个向量的分量。a i称为这个向量的第 i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量。 n维行向量可以看成 1×n矩阵, n维列向量也常看成 n×1矩阵。设k和l为两个任意的常数, 为任意的 n维向量,其中???,,),,,( 21naaa???),,,( 21nbbb??? 5 湖南科技大学吴晓勤定义 2如果和对应的分量都相等,即 a i =b i, i=1,2, …,n 就称这两个向量相等,记为?????定义 3向量(a 1 +b 1,a 2 +b 2,…,a n +b n) 称为与的和,记为。称向量(ka 1,ka 2,…,ka n) 为与k的数量乘积,简称数乘,记为。???????k6 湖南科技大学吴晓勤定义 4分量全为零的向量(0,0,…,0) 称为零向量,记为 0。与-1的数乘( -1)=( -a 1 ,-a 2,…,-a n) 称为的负向量,记为。?????)(????????向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质: 7 湖南科技大学吴晓勤????0)3(0)()4(?????????kkk???)()5(???lklk???) )(6(??)()()7(kllk????1)8(00)9(??00)10 (?k0,00) 11(?????k k 那么且如果满足( 1)—(8)的运算称为线性运算。???????交换律)1()()()2(???????????结合律 8 湖南科技大学吴晓勤例1设3(? 1-?)+2( ? 2+?)=5( ? 3+?),其中? 1 =(2,5,1,3), ? 2 =(10,1,5,10), ? 3 =(4,1,-1,1). 求?.解: 3? 1-3?+2 ? 2+2?=5 ? 3+5? 6?= 3 ? 1 +2 ? 2-5? 3?= 1/2 ? 1 +1/3 ? 2– 5/6 ? 3 =(1+10/3-20/6,5/2+1/3-5/6,1/2+5/3+5/6,3/2+10/3-5/6) =(1,2,3,4) 9 湖南科技大学吴晓勤矩阵与向量的关系: n维列向量组可以排成一个 n×s矩阵 s????,, 21),,( 21sB?????其中为由 B的第 j行形成的子块, 称为 B的列向量组。 j? s????,, 21§ 2 线性相关与线性无关通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组, n维行向量组可以排列成一个 s×n分块矩阵 s????,, 21?????????????? s???? 2 1其中为由 A的第 i行形成的子块, 称为 A的行向量组。 i? s????,, 21 10 湖南科技大学吴晓勤定义 5 向量组称为线性相关的,如果有不全为零的数 k 1,k 2,…,k s,使 s????,, 210 22111??????? ss si iikkkk?????反之,如果只有在 k 1 =k 2=…=k s =0 时上式才成立,就称线性无关。 s????,, 21当是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的 1×s矩阵( k 1,k 2,…,k s)使 s????,, 210),,( 2 121??????????????? s skkk?????