第三讲 混合策略纳什均衡.ppt

引言
◆有些博弈不存在纳什均衡，或者纳什均衡不唯一，如猜硬币博弈，前述纳什均衡分析就无法对博弈方的选择和博弈结果作明确的预测。
◆这部分对不存在纳什均衡和存在多个纳什均衡的博弈作一些讨论。
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混合策略的引进
一样，博弈不会有纯战略的均衡。
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两人只能玩混合战略博弈，齐威王分别以1/6随机的概率选择出上、中、下马的任一排列，田忌也如此。由于齐威王存在绝对优势，他平均看来仍然会赢田忌一千斤铜。
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混合策略均衡
◆纯策略与纯策略纳什均衡
纯策略：肯定会被选择——以100%的概率——被选择的策略。
纯策略纳什均衡：各个参与人都选择纯策略的纳什均衡。
◆混合策略与混合策略纳什均衡
混合策略：以一定的概率分布选择某几个行动的策略。
混合策略纳什均衡：由参与人的混合策略构成的纳什均衡。
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◆混合策略定义：在n人博弈的策略式表述 中，假定参与人 有K个纯策略： ，那么，概率分布 称为参与人 的一个混合策略，这里
是参与人 选择 的概率，对于所有的 。
◆ 显然，纯策略可以理解为混合策略的特例，比如说，纯策略 等价于混合策略 ，即选择纯策略 的概率为1，选择任何其他纯策略的概率为0。
◆混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳什均衡。
混合策略均衡
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期望支付函数
例：
◆参与人1的混合策略：（p,1-p)
参与人2的混合策略：(q,1-q)
◆参与人1的期望支付：
如果参与人1选择S11：
如果参与人1选择S12：
EV1（p,q)=
◆参与人2的期望支付：
EV2（p,q)=
u1，u2
u3，u4
u5，u6
u7，u8
参与人2
S11 p
S12 1-p
S21
S22
参与人2
q
1-q
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混合策略均衡
例：监督博弈
给定工人偷懒，老板的最优
选择是监督；给定老板监督，
工人的最优选择是不偷懒；
给定工人不偷懒，老板的最
优选择是不监督；给定老板
不监督，工人的最优选择是
偷懒；如此循环。
1，-1
-1，2
-2，3
2，2
老板
监督
不监督
偷懒
不偷懒
工人
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混合策略均衡
监督
不监督
偷懒
不偷懒
工人
老板
假定老板选择混合战略（，)
工人选择“偷懒”期望支付为 (-1)×+3×=1
工人选择“不偷懒”期望支付为2×+2×=2
工人应选择“不偷懒”
老板选择“不监督”
工人选择“偷懒’……
假定老板选择混合战略（，)
工人选择“偷懒”期望支付为(-1)×+3
工人选择“不偷懒”（期望）支付为2×+2×=2
工人应选择“偷懒” 老板选择“监督” 工人选择“不偷懒’……
1，-1
-1，2
-2，3
2，2
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混合策略均衡
什么情况下达到纳什均衡状态？
假定存在一个概率q，老板选择混合策略（q，1-q）
工人选择“偷懒”期望收益为(-1)×q+3×(1-q)=3-4q
工人选择“不偷懒”收益为2
如果老板真的以概率q选择监督，1-q选择不监督，那么意
味着他不会始终重复地选择某个纯策略，而他不重复选择的
条件必须是工人也不会重复地选择策略。 因此，老板
以概率q选择监督必然意味着在这种情况下工人没有合适的纯
策略选择。====老板的选择必须使工人在两个纯策略之间随机选择。
工人什么情况下随机选择？
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混合策略均衡
◆当工人选择任何一个策略的期望支付相等时，即3-4q=2 ，q*=1/4,1- q*=3/4。这样，当老板选择（1/4，3/4）的混合战略时，可以使工人在两个纯战略之间无差异。
◆ 同理，假设工人选择(p,1-p)，(p,1-p)成为其最优混合战略
的条件是老板在选择监督与选择不监督之间无差异，即
1×p+(-1)(1-p)=(-2