线性代数自考知识点汇总情况.doc

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行列式
行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
性质2 互换行列式的两行〔列〕，行列式变号.
推论1 如果行列式有两行〔列〕的对应元素完全一样，如此此).
即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.
矩阵方程
〔1〕设 A为n阶可逆矩阵，B为n×m矩阵，如此矩阵方程AX=B的解为；
解法：① 求出，再计算；
②.
〔2〕设 A为n阶可逆矩阵，B为m×n矩阵，如此矩阵方程XA=B的解为；
解法：① 求出，再计算；
②.
矩阵间的关系
〔1〕等价矩阵：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A与B等价.
即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B.
性质：等价矩阵的秩相等.
〔2〕相似矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得,那么称A与B相似.
性质：相似矩阵有一样的特征多项式，一样的特征值，一样的行列式，一样的迹.
〔3〕合同矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得，那么称A与B合同.
性质：合同矩阵的秩相等.
向量空间
线性组合
〔1〕假如α＝kβ，如此称向量α与β成比例．
〔2〕零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．
〔3〕向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．
线性相关与线性无关
〔1〕 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．
〔2〕 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．
〔3〕 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.
〔4〕 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.
〔5〕 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．
〔6〕 向量组线性相关的充分必要条件是
齐次线性方程组有非零解.
以向量组为列作的矩阵的秩<向量的个数m.
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〔7〕n个n维向量线性相关的充分必要条件是
以向量组为列作的行列式的值=0.
〔8〕 向量组线性无关的充分必要条件是
①齐次线性方程组只有零解.
②以向量组为列作的矩阵的秩=向量的个数m.
〔9〕 n个n维向量线性无关的充分必要条件是
以向量组为列作的行列式的值≠0.
〔10〕当m>n时，m个n维向量一定线性相关.
定理1：向量组a1 ,a2 ,……, am〔m≥2〕线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.
向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示．
定理2：如果向量组A：a1 ,a2 ,……, ar 线性无关，而向量组a1 ,a2 ,……, ar，α线性相关，如此α可由A线性表示，且表示式唯一.
定理3：设向量组，
假如A线性相关，如此向量组B也线性相关；反之，假如向量组B线性无关，如此向量组A也线性无关.
〔即局部相关，如此整体相关；整体无关，如此局部无关〕.
定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关.
极大无关组与向量组的秩
定义1如果在向量组T中有 r 个向量a1 ,a2 ,……, ar ，满足条件：
⑴向量组a1 ,a2 ,……, ar 线性无关，
⑵，线性相关.
那么称向量a1 ,a2 ,……, ar是向量组T的一个极大无关组.
定义2向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.
定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。
结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。
结论2 如果向量组的秩是r ，那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。
定理1 设向量组A:a1,a2, …,ar；与向量组B:b1,b2, …, bs，如果组A能由组B线性表示，且组A线性无关，如此r≦s.
推论1等价的向量组有一样的秩.
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定理2 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩.
向量空间
定义1　设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法与乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间.
基与向量在基下的坐标
定义2 设V是向量空间，如果向量组a1 ,a2 ,……, ar ，满足条件：
〔1〕向量组a1 ,a2 ,……, ar 线性无关；
〔2〕，线性相关.
那么称向量组a1 ,a2 ,……, ar是向量空间V的一个基， 基中所含向量的个数称为向量空间V的维数，记作dimV，并称V为r维向量空间．
定义3设向量组a1 , a2 , … , ar 是向量空间V的一个基，如此V中任一向量x可唯一地表示为基的一个线性组合，即，
称有序数组为向量x在基a1 , a2 , … , ar下的坐标.
线性方