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24 点到直线的间隔
教材分析
点到直线的间隔 是解析几何的重要内容之一，它的应用非常广泛．点到直线的间隔 是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知道,求点到点的间隔 ,有“工具”——-两点间的间隔 公式可用，同样有必要创造出一套“设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的间隔 公式求得结果，想法既巧妙,又简单明了．（精品文档请下载）
二、建立模型
设坐标平面上（如图24-1),有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A,B不全为0）．
我们来寻求点到直线l间隔 的算法．
作直线m通过点P(x1，y1）,并且和直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为
B（x－x1)－A（y－y1）＝0．
由此得B（x0－x1)－A（y0－y1）＝0．①
由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，
即C＝－Ax0－By0．
所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0,
即A(x1－x0）＋B（y1－y0)＝Ax1＋By1＋C．②
把等式①和②两边平方后相加，整理可得
（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0)2］＝（Ax1＋By1＋C)2，
即(x1－x0）2＋（y1－y0）2＝
容易看出，等式左边即为点P(x1，y1）到直线l间隔 的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1)到直线l的间隔 d的计算公式:（精品文档请下载）
归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的间隔 的计算步骤如下：
（1）给出点的坐标x1和y1赋值．
（2）给A，B，C赋值．
（3)计算
注意：(1)在求点到直线的间隔 时，直线方程要化为一般式．
（2)当直线和x轴或y轴平行时，公式也成立,但此时求间隔 一般不用公式．
三、解释应用
[例　题］
1. 求点P（－1，2）到以下直线的间隔 ：
l1:2x＋y＝5，　　　l2：3x＝2．
注意:标准解题格式．
2. 求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０,（C1≠C2）之间的间隔 ．（精品文档请下载）
分析：求两条平行线间的间隔 ，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的间隔 ．
解:在l1上任取一点P（x1,y1),那么Ax1＋By＝－C1，点P到l2的间隔 d＝
3. 建立适当的直角坐标系,证明:等腰三角形底边上任一点到两腰的间隔 之和等于一腰上的高．
解:以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系(如图24—2）．
不妨设底边｜AB|＝2a,高｜OC｜＝b，那么直线AC:
即bx－ay＋ab＝0；
直线BC：，即bx＋ay－ab＝0，
∴点B（a，0）．
在线段AB上任取一点D（m,0），
那么－a≤m≤a．
∴d1＋d2＝，即等腰三角形底边上任一点到两腰的间隔 之和等于一腰上的高．
［练****br/>1. 求以下点到直线的间隔 ．
（1）0（0，0)，l1：3x＋4y－5＝0．
（2）A（1，0)，l2:x＋y－＝0．
（3）B（1，2）,l3：3x＋y＝0．
（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．
2。 求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的间隔 ．
3。 （1）求过点A（－1，2)，且和原点的间隔 为的直线方程．
（2）假设点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点,求OP的最小值．
(3)假设△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0,4），C（2,－4),求△ABC的面积．
（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．
（5)求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0,1）对称的直线方程．
四、拓展延伸
1。 点到直线的间隔 公式应用非常广泛,你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗?
2. 点到直线的间隔 公式的推导方法有很多,对学有余力的同学可探究其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．（精品文档请下载）
（1）如图，点P0(x0，y0），直线l:Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的间隔 ．
不妨设A≠0，B≠0,这时l和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l的垂线,交l于Q．令|P0Q|＝d，过P0作x轴的平行线交l于R（x1，y0）,作y轴的平行线交l于S（x0，y2）．（精品文档请下载）
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得
易证A＝0或B＝0，公式也成立．
(2)点到直线的间隔 公式也可用向量的知识求得，此法更能表达出代数和几何的联络，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：（精品文档请下载）
①如图24—4,证明向量n＝(A，B）和直线l垂直．
不