第五章几何变换
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基本变换
几何变换的定义:
改变对象坐标描述的变换称为几何变换,例如改变对象的方向、尺寸和形状
在坐标系不变的情况下,由对象的几何位置或比例改变等引起的变换
第二页,本课件共坐标表示为(h*x ,h*y ,h)(h≠0的任意实数)。
只要给定一个点的齐次坐标表示(xh ,yh,h),就能得到唯一的笛卡儿坐标(x , y)
x= xh/h , y=yh/h
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2D变换的矩阵表示
一个笛卡儿坐标表示的点,用齐次坐标表示时,是无穷的,但一个齐次坐标表示的点,用笛卡儿坐标表示时,是唯一的
齐次坐标表示不是唯一的,通常当h=1是时,称为规格化齐次坐标
用齐次坐标技术,可改写平移变换、缩放变换和旋转变换为统一的乘积形式
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平移变换
x' 1 0 tx x
y' = 0 1 ty y
1 0 0 1 1
P' = T(tx, ty)*P
2D变换的矩阵表示
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旋转变换
x' cosθ -sinθ 0 x
y' = sinθ cosθ 0 y
1 0 0 1 1
P' = R(θ)*P
2D变换的矩阵表示
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变比变换
x' sx 0 0 x
y' = 0 sy 0 y
1 0 0 1 1
P' = S(sx, sy)*P
2D变换的矩阵表示
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复合变换
利用距阵表示,就可通过计算单个变换的距阵乘积,将任意顺序变换的距阵建立为组合变换距阵。
形成变换距阵的乘积被称为距阵的合并或组合
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复合变换
连续平移
连续旋转
连续变比
针对任意点的变换
针对任意方向的变换
实现
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连续平移
两个连续的平移向量(tx1 , ty1)和(tx2 , ty2)被用于点P,那么最后的点坐标可计算为
P' = T(tx2, ty2) · { T(tx1, ty1) · P }
= { T(tx2, ty2) · T(tx1, ty1) } · P
计算时,可先计算两个平移变换距阵的乘积
T(tx2, ty2) · T(tx1, ty1) = T(tx2 + tx1, ty2+ ty1)
这表明:两个连续平移变换是相加的
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连续旋转
应用于点P的两个连续旋转,得到的点P'的坐标可计算为
P' = R(θ2) · { R(θ1) · P } = {R(θ2) · R(θ1)} · P
可以证明:两个连续旋转是相加的
R(θ2) · R(θ1)= R(θ1+θ2)
则P’的坐标可计算为
P' = R(θ1+θ2) · P
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连续变比
两个连续缩放操作的变换距阵连接,产生的组合变换距阵
S(sx2, sy2) · S(sx1, sy1) = S(sx1· sx2, sy1· sy1)
表明:连续缩放操作是相乘的,非叠加的
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针对任意点变换
对于绕任意基准点(xr , yr)的旋转,通过平移-旋转-平移变换这样的序列变换操作来完成
方法
平移对象使基准点移动到坐标原点
针对原点做指定变换
反向平移对象使基准点回到原位置
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(1) 针对固定点缩放
1 0 xf
0 1 yf
0 0 1
sx 0 0
0 sy 0
0 0 1
1 0 -xf
0 1 -yf
0 0 1
举例
sx 0 xf(1- sx)
0 sy yf(1- s
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