“二倍角公式”的建构探析（高中数学教与学）.doc

刊登于《高中数学教与学》2012年第4期 高中版

“二倍角公式”的建构探析
江苏省如皋市搬经镇教委办 (2 高中版

函数与图象之间的关系开始考察．（出示下图）
问题１、你认为函数与的图象之间是否存在一定的关系？
问题２、从图象上你能感悟出函数与在数量上的关系吗？具体地说，你能把上述关系用解析式表示出来吗？
问题３、如果不能从图象上看出函数与之间的关系，你认为可以从哪些方面来思考？说说你的想法．
设计意图：学生****惯于借助图形来直观思考问题,这正符合以形助数的数学思想．然而不是所有的数学问题都是这样，二倍角的正弦公式不能直观的反映它和单角的正弦、余弦之间数量与图象内在的联系．这就形成认知冲突，促使学生认识到必要从数量关系进行考虑．从而培养了学生从数形两方面思考数学问题的良好****惯．（通过学生自行设计的方案顺利过渡到活动二的内容）（精品文档请下载）
活动二：　学生活动(知识回顾）
问题１、你认为要讨论二倍角的三角函数与角的三角函数之间的关系,需要运用到我们已经学过的哪些知识？(老师在学生讨论的基础上做出归纳）（精品文档请下载）
刊登于《高中数学教与学》2012年第4期 高中版

　　　　;　　　　；　　　　．
问题２、在讨论上述一类公式的过程中，我们探讨过哪些变换方法？（老师引导学生讨论）
　　　　　　 …；
　　　　　　…．
设计意图:回顾本章已经学过的知识和变换方法，让化归的数学思想具体化，让两种不同的化归方法（从已知到未知、从一般到特殊)同时呈现在学生面前做好准备,同时为建构新知铺平道路．（老师在学生讨论的过程中适时引入化归的数学思想和方法)（精品文档请下载）
活动三:　意义建构(倍角公式）
问题１、已知，根据活动二，你能求出的值吗？
问题２、根据问题１你能推导的公式吗?　
问题３、根据问题２你能推导和的公式吗？
问题４、由，你认为还有其它形式的公式吗?
设计意图：由具体的问题引向抽象的公式,是新课程标准的特点之一．既注意了知识的生长点，又注意到化归的思想．从运算的角度看待三角变换，利于学生将建构的新知和思想方法纳入到已有的知识结构体系中去．（精品文档请下载）
刊登于《高中数学教与学》2012年第4期 高中版

为了验证我们重新设计的建构方案是否更科学、更合理,笔者再度深入课堂．同行们在课前争论的焦点是否需要设计活动二中第２点的内容．课堂反馈证实，学生不仅将变换（代换)方法顺利作了迁移，而且还了解了本章所反映的两种化归思想，这是推导三角恒等变换的精髓．正当我们感到欣慰时,似乎一个意想不到的问题又摆到我们面前，学生对倍角公式的结构特征和灵活运用的问题形成障碍,我们的建构方案在哪里出现了问题？（精品文档请下载）
所有参加研讨的老师带着困惑走出教室,很快聚集在一起．这是为什么呢？数学的教学是思维的教学,学生的思维也参与了其中,公式的形成十分自然，为什么到了应用就形成障碍？是不是我们对公式的建构还欠缺什么？!经过认真的讨论，寻找到出现新的问题的原因，原来本节内容的难点是倍角公式的逆向运用，加之倍角公式的相对性、升幂和降幂的变形运用,所以倍角公式的建构没有到位，学生如何运用?要突破这一难点，促进公式运用的畅通和延伸，公式层面的结构特征需要揭示出来，这就必须有一个过渡．于是我们迅速补充设计一个活动，穿插到原有的建构方案之中．（精品文档请下载）
活动四： 感知数学(公式解析)
根据你推导的倍角公式,试一试能否完成下列填空?
1、（１）　　　　　 ； （２）　　　　　 ；
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（３）　　　　　　　 ; （４）　　　　　　 ；
（５) ; （６） 。。
2、（１）　　　　　　　; （２)　　　　　　　．
3、（１）　　　　　　　　 ; （２）　　　　　　　　 ；
4、当为 　时，成立．
设计意图：