2013年高考数学全国卷1问题详解与解析汇报.doc

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2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析
一、选择题共12小题。每一小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。
，如此( )
∩B
解析：∵==
令=，，如此==，
当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.
答案：===
=的图像关于直线对称，如此的最大值是______.
考点 ：图像的性质
解析：由图像关于直线=－2对称，如此
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，
当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，
∴在〔－∞，〕单调递增，在〔，－2〕单调递减，在〔－2，〕单调递增，在〔
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，+∞〕单调递减，故当=和=时取极大值，==16.
答案：16
：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.〔本小题总分为12分〕如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
(1)假如PB=，求PA；(2)假如∠APB＝150°，求tan∠PBA
考点 ：余弦定理，正弦定理
解析：〔Ⅰ〕由得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；，
〔Ⅱ〕设∠PBA=，由得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化简得，，
∴=，∴=.
18.〔本小题总分为12分〕如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.
〔Ⅰ〕证明AB⊥A1C;
〔Ⅱ〕假如平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
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考点 ：线与线垂直证明，线与面所成角的求法
解析：〔Ⅰ〕取AB中点E，连结CE，，，
∵AB=，=，∴是正三角形，
∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵=E，∴AB⊥面，
∴AB⊥；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知EC⊥AB，⊥AB，
又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，
∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如下列图空间直角坐标系，
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),如此=〔1,0，〕,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分
设=是平面的法向量，
如此，即，可取=〔，1，-1〕，
∴=，
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∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
19.〔本小题总分为12分〕一批产品需要进展质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，假如都为优质品，如此这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，假如为优质品，如此这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
〔1〕求这批产品通过检验的概率；
〔2〕每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X〔单位：元〕，求X的分布列与数学期望。
考点 ：求事件发生的概率、期望
解析：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.
〔Ⅱ〕X的可能取值为400,500,800，并且
P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，
∴X的分布列为
X
400
500
800
P
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EX=400×+500×+800×=
20.(本小题总分为12分)圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.
〔Ⅰ〕求C的方程；
〔Ⅱ〕是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
考点 ：椭圆的概念，直线与椭圆位置关系