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对“习题引申”的两点补充 (2).doc


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2005年 第44卷 第8期 数学通报 47—48
对****题引申”的两点补充
贺 斌
(湖北省谷城县第三高级中学 441700)
引申应尽力揭示问题的实2005年 第44卷 第8期 数学通报 47—48
对****题引申”的两点补充
贺 斌
(湖北省谷城县第三高级中学 441700)
引申应尽力揭示问题的实质
文[1]分析认为,将题目“已知,求函数的最小值”引申为“求函数的最小值”,为灵活运用基本不等式提供了一个很好的范例。笔者赞同文[1]的观点,但笔者认为,文[1]若能将其打算进一步组织学生探讨的问题(问题的提出不能由教师包办,必须使学生经历一个反思、讨论、修改的过程):“如何利用基本不等式求函数的最小值”改为:“如何利用基本不等式求函数及的最小值”,则会显得更为本质简明。这是因为:(1)形式“”能够更好地揭示此类题目的结构,而形式“”容易误导人们认为它是根式结构。(2)在引导学生由“”到“"再到“”的过程中,学生必然会经历一个反思、交流、探讨、修改的过程,这本身就是一个加深理解,触及实质的过程。而由“”到“”再到
“”,极易造成思维表面化、肤浅化,并最终被“形式”所迷惑。以下给出用基本不等式求最小值的主要步骤:(精品文档请下载)



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如果学生对的获取过程及上述步骤有实质性理解,那么当他们面对如下函数的最小值问题时就不会被“形式"所迷惑:(精品文档请下载)
反思解题过程也是引申****题的一条重要途径
针对文[2]的欠缺,有必要指出:反思解题过程也是构建新知、引申****题的一条重要途径,而且这一途径有时对相关知识的揭示更加深刻到位.以下举两例说明之(精品文档请下载)
例1已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直。
此为高中数学新教材第二册(上)复****参考题七B组第2题。下面给出此题的向量证法:
设四边形为ABCD,则
.
稍作反思便可发现,以上推理步步可逆(于是可将上述推理中的“”改为“"),并且推理过程根本没有用到“(平面)四边形”这一条件,甚至连四个点能否构成四边形都无关紧要。于是,我们从反思例1的证明过程中引申出一个极具实用价值的一般性结论:(精品文档请下载)
定理1 设A,B,C,D是空间四点(可以共面,也可以不共面,共面时也可以出现三点共线的情况),则AC⊥BD(

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