对“习题引申”的两点补充.doc

2005年 第44卷 第8期 数学通报 47-48
对****题引申”的两点补充
贺 斌
（湖北省谷城县第三高级中学 441700）
引申应尽力揭示问题的实2005年 第44卷 第8期 数学通报 47-48
对****题引申”的两点补充
贺 斌
（湖北省谷城县第三高级中学 441700）
引申应尽力揭示问题的实质
文[1］分析认为，将题目“已知，求函数的最小值”引申为“求函数的最小值”，为灵活运用基本不等式提供了一个很好的范例。笔者赞同文［1]的观点,但笔者认为，文[1］若能将其打算进一步组织学生探讨的问题（问题的提出不能由教师包办，必须使学生经历一个反思、讨论、修改的过程）:“如何利用基本不等式求函数的最小值”改为：“如何利用基本不等式求函数及的最小值”，则会显得更为本质简明。这是因为:（1)形式“”能够更好地揭示此类题目的结构，而形式“”容易误导人们认为它是根式结构。(2)在引导学生由“"到“"再到“”的过程中，学生必然会经历一个反思、交流、探讨、修改的过程，这本身就是一个加深理解，触及实质的过程。而由“”到“"再到“
”,极易造成思维表面化、肤浅化,并最终被“形式”所迷惑。以下给出用基本不等式求最小值的主要步骤：（精品文档请下载）



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如果学生对的获取过程及上述步骤有实质性理解,那么当他们面对如下函数的最小值问题时就不会被“形式”所迷惑：（精品文档请下载）
反思解题过程也是引申****题的一条重要途径
针对文[2］的欠缺,有必要指出：反思解题过程也是构建新知、引申****题的一条重要途径,而且这一途径有时对相关知识的揭示更加深刻到位。以下举两例说明之（精品文档请下载）
例1已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直。
此为高中数学新教材第二册（上）复****参考题七B组第2题。下面给出此题的向量证法：
设四边形为ABCD，则
。
稍作反思便可发现，以上推理步步可逆（于是可将上述推理中的“”改为“”）,并且推理过程根本没有用到“(平面)四边形"这一条件，甚至连四个点能否构成四边形都无关紧要。于是，我们从反思例1的证明过程中引申出一个极具实用价值的一般性结论：（精品文档请下载）
定理1 设A，B，C,D是空间四点（可以共面,也可以不共面，共面时也可以出现三点共线的情况），则AC⊥BD