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构造等腰三角形习题.doc


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构造等腰三角形证题
吴复
等腰三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。(精品文档请构造等腰三角形证题
吴复
等腰三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。(精品文档请下载)
一. 直接连线法
例1。 已知,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E.
求证:∠C=∠D。
图1
证明:连结AC、AD
因为AB=AE,∠B=∠E,BC=ED
所以△ABC≌△AED
所以∠1=∠2,AC=AD
所以∠3=∠4
即∠1+∠3=∠2+∠4
所以∠C=∠D
例2。 已知,DE为△ABC的BC边上的中垂线,交AC于D,垂足为E。
求证:AB<AC。
图2
证明:连结BD。
因为BE=CE,DE⊥BC
所以DB=DC
因为AB<AD+DB
所以AB〈AD+DC
即AB〈AC
二。 线段延长法
例3. 已知△ABC中,∠A=Rt∠,AB=AC,BE平分∠ABC,且BE⊥CE于E。
求证:。
图3
证明:分别延长BA、CE交于F。
因为BE⊥CF,∠1=∠2
所以BF=BC
因为∠3=∠1,AC=BA,∠4=∠5=Rt∠
所以Rt△FCA≌Rt△DBA
所以FC=DB
因为
所以
例4。 已知M、N分别为正六边形ABCDEF的边CD、DE的中点,BN与AM交于点P,则___________。(精品文档请下载)
图4
解:延长AB、DC交于G,延长ED、AM交于H。
因为ABCDEF为正六边形
所以△BCG为正三角形
设AB=k,则BG=CG=k
因为DH//AG
所以
所以
所以
说明:例3延长图形中有关的线段,构成等腰三角形的底边,例4中应用了平行线分线段成比例的性质。
三。 延长和连结相结合法
例5. 已知在△ABC中,∠C=2∠B。
求证:。
图5
证明:延长BC到D,使CD=AC,连结AD。
因为∠1=2∠B,又因为∠1=2∠D,所以∠D=∠B
所以AB=AD<AC+CD=2AC
例6。 已知∠ABD=∠ACD=60°,∠ADB=90°。
求证:△ABC为等腰三角形.
图6
证明:延长CD到E,使DE=DB,连结AE。
因为∠ADB=90°
所以2∠ADB=180°
所以∠1=∠2
所以△ABD≌△AED
所以∠ABD=∠E=60°
所以△ACE为等腰三角形
所以AC=AE
所以△ABC为等腰三角形
例7. 已知△ABC中,AB=AC,AD为高,BE为角平分线,EG⊥BC于G,EF⊥BE交BC于F.
求证:。
图7
证明:延长FE交BA延长线于H,取BH的中点M,连结EM并交AD于N。
因为∠1=∠2,BE=BE,∠BEH=∠BEF=90°
所以△BHE≌△BFE
所以BH=BF,HE=FE
又因为HM=BM
所以EM//

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