构造等腰三角形习题.doc

构造等腰三角形证题
吴复
等腰三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。（精品文档请构造等腰三角形证题
吴复
等腰三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。（精品文档请下载）
一. 直接连线法
例1。 已知,在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E.
求证:∠C=∠D。
图1
证明：连结AC、AD
因为AB=AE，∠B=∠E,BC=ED
所以△ABC≌△AED
所以∠1=∠2,AC=AD
所以∠3=∠4
即∠1+∠3=∠2+∠4
所以∠C=∠D
例2。 已知，DE为△ABC的BC边上的中垂线，交AC于D,垂足为E。
求证:AB<AC。
图2
证明：连结BD。
因为BE=CE，DE⊥BC
所以DB=DC
因为AB<AD+DB
所以AB〈AD+DC
即AB〈AC
二。 线段延长法
例3. 已知△ABC中，∠A=Rt∠，AB=AC，BE平分∠ABC，且BE⊥CE于E。
求证:。
图3
证明:分别延长BA、CE交于F。
因为BE⊥CF，∠1=∠2
所以BF=BC
因为∠3=∠1，AC=BA，∠4=∠5=Rt∠
所以Rt△FCA≌Rt△DBA
所以FC=DB
因为
所以
例4。 已知M、N分别为正六边形ABCDEF的边CD、DE的中点，BN与AM交于点P，则___________。（精品文档请下载）
图4
解：延长AB、DC交于G，延长ED、AM交于H。
因为ABCDEF为正六边形
所以△BCG为正三角形
设AB=k，则BG=CG=k
因为DH//AG
所以
所以
所以
说明：例3延长图形中有关的线段，构成等腰三角形的底边，例4中应用了平行线分线段成比例的性质。
三。 延长和连结相结合法
例5. 已知在△ABC中，∠C=2∠B。
求证：。
图5
证明：延长BC到D，使CD=AC，连结AD。
因为∠1=2∠B，又因为∠1=2∠D，所以∠D=∠B
所以AB=AD<AC+CD=2AC
例6。 已知∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°。
求证:△ABC为等腰三角形.
图6
证明:延长CD到E，使DE=DB，连结AE。
因为∠ADB=90°
所以2∠ADB=180°
所以∠1=∠2
所以△ABD≌△AED
所以∠ABD=∠E=60°
所以△ACE为等腰三角形
所以AC=AE
所以△ABC为等腰三角形
例7. 已知△ABC中,AB=AC，AD为高,BE为角平分线,EG⊥BC于G，EF⊥BE交BC于F.
求证:。
图7
证明：延长FE交BA延长线于H,取BH的中点M，连结EM并交AD于N。
因为∠1=∠2，BE=BE，∠BEH=∠BEF=90°
所以△BHE≌△BFE
所以BH=BF，HE=FE
又因为HM=BM
所以EM//