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单位圆与三角函数线
第1页，本讲稿共20页
◆教学目标
(一)知识与技能目标
1．有向线段的概念．
2．用单位圆中的线段表示三角函数值．
(二)过程与方法目标
理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向 来单位圆与三角函数线
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◆教学目标
(一)知识与技能目标
1．有向线段的概念．
2．用单位圆中的线段表示三角函数值．
(二)过程与方法目标
理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向 来表示三角函数值．
(三)情感态度与价值观目标
根据三角函数的定义导出三角函数线，数形沟边，发展思维．
◆教学重点、难点
1．教学重点：怎样用三角函数线表示三角函数值？
2．教学难点：三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定？
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（一）复****三角函数的坐标法定义
◆教学过程
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系，在角α的终
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前面我们学****了三角函数的坐标法定义，三角函数在各象限内的符号，学****了任意角的三角函数。
由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学****正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法
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我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。
设P 点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记
，则由正弦函数的定义可知，
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一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为
A(1，0)，A’(－1，0).
而与y轴的交点分别为
B(0，1)，B’(0，－1).
(二)单位圆、有向线段的概念
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2. 有向线段的概念：
带有方向的线段叫有向线段 ；
有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。
如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3
=3
=-3
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设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M； 做PN垂直y轴于点N，
则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
(三)用单位圆中的线段表示三角函数值
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根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)
其中cosα=OM，sinα=ON.
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.
以A为原点建立y’轴与y轴同向，y’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T ’)，则tanα=AT(或AT ’)
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我们把轴上的向量
分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
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角α的终边在四个象限的情况
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、 、 的正弦线、余弦线、正切线。
(四)练****br/>第12页，本讲稿共20页
例2　 利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角x的集合：
在0～2π之间满足条件的角x的终边
必须在图中阴影部分内（包括边界），
即Π/3≤x≤2Π/3，故满足条件的角
x的集合为﹛x▏2k k∈z﹜
在0～2π之间满足条件的角x的终边应在图中阴影部 分（不包括边界），即Π/2<x<5Π/6或3Π/2<x<11Π/6,故满足条件的角x的集合为
﹛x▏kΠ+Π/2<x<kΠ+5Π/6, k∈z﹜
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：
(1) ; (2) ;
(3) tan2和tan3.
解：由三角函数线得
sin1<
cos1>
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tan2<tan3
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例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明：在△OMP中，OP=1，OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|，
因为三角形两边之和大于第三边，所以
|sinα|+|cosα|≥1。
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(五)小结
1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。
2. 三角函数线的位置 ：
正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；
余弦线为从原点到α的终边