三角函数周期性.ppt

三角函数周期性
第1页，本讲稿共17页
 今天是3月5号，星期一
 观察摩天轮的转动
世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，，在函数领域里，周期性是函数的三角函数周期性
第1页，本讲稿共17页
 今天是3月5号，星期一
 观察摩天轮的转动
世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.
第2页，本讲稿共17页
第3页，本讲稿共17页
诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义．
x
o
y
4π
12π
6π
8π
2π
10π
第4页，本讲稿共17页
定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(x+T)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
一、周期函数的定义
注意：
，且不为零
(x+T)=f(x)必须对定义域内的任意x都成立
第5页，本讲稿共17页
2、周期函数的周期是否惟一？
1．等式sin( + )=sin 是否成立？
如果成立，能否说明 是正弦函数
y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？
3、正弦函数、余弦函数的周期有哪些？
周期函数的周期不止一个，若T是周期，
则kT(k∈Z且k≠0)一定也是周期。
第6页，本讲稿共17页
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的
x
o
y
6π
12π
o
y
x
4π
8π
第7页，本讲稿共17页
对于一个周期函数f(x),如果在它的所有正周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期，最小正周期是2π.
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
第8页，本讲稿共17页
求下列函数的周期：
(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;
(3)y=2sin[(1/2)x-(π/6)],x∈R.
是以2π为周期的周期函数.
(2)
是以π为周期的周期函数.
例题解析
解:(1)
∵对任意实数x有
f(x)＝3sinx＝3sin(x＋2)＝f(x＋2)
第9页，本讲稿共17页
(3)
是以４π为周期的周期函数．
第10页，本讲稿共17页
你能从上面的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关系吗？
T = 4π
T = π
T = 2π
周 期
函 数
y=
二、函数周期性的概念的推广
第11页，本讲稿共17页
一般地，函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R
及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R
(其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为
当ω<0周期为
第12页，本讲稿共17页
问题1：函数f(x)=sinx,x∈R+是不周期函数？２π是不是它的周期？－２π呢？
o
y
x
２π
４π
x＋（－２π）
f（ x＋T ）无意义
x
f（ x＋T ）有意义
x＋２π
问题2：函数f(x)=c(c为常数),x∈R，问函数f(x)是不周期函数，若是，有无最小正周期？
第13页，本讲稿共17页
：
随堂练****br/>(5)
(4)
(3)
(1)
(2)
函数，且 时 ，求 和 的值。

是以２为最小正周期的周期
第14页，本讲稿共17页
1、 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2、周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.
3、函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数，且A≠0,ω>0)的周期T=2π/ω.
回顾小结
第15页，本讲稿共17页
判断下列函数的周期性：
思考
第16页，本讲稿共17页
P36 练****1，2.
P46 第10题
作业：
第17页，本讲稿共17页