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两因素及多因素方差分析
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本章主要内容
第一节　两因素交叉分组试验资料的方差分析
　　　一　两因素有重复观察值试验的方差分析
　　　二　两因素单独观察值试验的方差分析
　　　三　举例
第二节　数据转换
第x2…/abn
总
SST=x2ijk -C
dfT=abn-1
A因素
SSA=1/(bn) x2i . .-C
df A=a-1
B因素
SSB=1/(an) x2 .j .-C
df A=b-1
交互作用
SSAB=SST-SSA-SSB -SSe
dfAB=(a-1)(b-1)
误差
SSe= x2ijk - 1/n x2ij .
dfe=ab(n-1)
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④　期望均方
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⑤　统计量F
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变异来源
平方和
自由度
均 方
F 值
A因素
SSA
dfA
MSA
FA=MSA/MSe
B因素
SSB
dfB
MSB
FB=MSB/MSe
交互作用
SSAB
dfAB
MSAB
FAB=MSAB/MSe
误 差
SSe
dfe
MSe
总变异
SST
dfT
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4. 随机效应模型
①　统计模型
　
其中要求：i 服从N(0,　　) ；j 服从N(0,　　); ( )ij 服从N(0, 　　); ij 为随机误差，相互独立，服从N(0,σ2)。
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②　统计假设
备择假设为　上述各参数至少有一类不为零
③　总平方和与总自由度的分解（同固定效应模型）
④　期望均方
⑤　统计量F
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变异来源
平方和
自由度
均 方
F 值
A因素
SSA
dfA
MSA
FA=MSA/MSAB
B因素
SSB
dfB
MSB
FB=MSB/MSAB
交互作用
SSAB
dfAB
MSAB
FAB=MSAB/MSe
误 差
SSe
dfe
MSe
总变异
SST
dfT
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5. 混合效应模型（设A为固定因素，B为随机因素）
①　统计模型
　
其中要求：j服从N(0,　　); ( )ij服从N(0,　　); ij为随机误差，相互独立，服从N(0,σ2)。
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②　统计假设
备择假设为　上述各参数至少有一类不为零
③　总平方和与总自由度的分解
（同固定效应模型）
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④　期望均方
⑤　统计量F
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变异来源
平方和
自由度
均 方
F 值
A因素
SSA
dfA
MSA
FA=MSA/MSAB
B因素
SSB
dfB
MSB
FB=MSB/MSe
交互作用
SSAB
dfAB
MSAB
FAB=MSAB/MSe
误 差
SSe
dfe
MSe
总变异
SST
dfT
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二　两因素单独观察值试验的方差分析
　　A、B两个试验因素的全部ab个水平组合中，每个水平组合只有一个观察值，全部试验共有ab 个观察值。其数据模式如表11—2所示。
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A
因素
B 因 素
合计
xi.
平均
B1
B2
…
Bj
…
Bb
A1
x11
x12
…
x1j
…
x1b
x1 .
A2
x21
x22
…
x2j
…
x2b
x2 .
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Ai
xi1
xi2
…
xij
…
xib
xi .
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Aa
xa1
xa2
…
xaj
…
xab
x a .
合计x .j


…

…

x..
平均
…
…
交叉分组两因素单独观察值试验数据模式
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1、两因素单独观察值试验的数学模型

　 其中，μ为总平均数；i、j 分别为Ai、Bj 的效应;且  i=0，  j=0；εij为随机误差，相互独立，且服从N(0,σ2)。
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2、平方和与自由度的分解
　　两因素单独观察值的试验,全部ab个观察值的总变异可