线性代数知识点归纳.doc

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线性代数复****要点
第一局部 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行〔列〕展开法则
列矩阵.
矩阵的秩关于矩阵秩的描述：
①、，中有阶子式不为0，阶子式 (存在的话) 全部为0；
②、，的阶子式全部为0；
③、，中存在阶子式不为0；
☻矩阵的秩的性质：
①≥; ;≤≤
②
③
④
⑤≤
⑥假设、可逆，则； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦ 假设；
假设
⑧等价标准型.
⑨≤, ≤≤
⑩,
☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法
6 矩阵方程的解法()：设法化成
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第三局部 线性方程组
1. 向量组的线性表示
2. 向量组的线性相关性
3. 向量组的秩
4. 向量空间

6. 线性方程组的解的构造〔通解〕
〔1〕齐次线性方程组的解的构造〔根底解系与通解的关系〕
〔2〕非齐次线性方程组的解的构造〔通解〕
线性表示：对于给定向量组，假设存在一组数使得，
则称是的线性组合，或称称可由的线性表示.
线性表示的判别定理:
可由的线性表示
由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：
①、有解
②、
③、〔全部按列分块，其中〕；
④、〔线性表出〕
⑤、有解的充要条件：〔为未知数的个数或维数〕
,的列向量为，
则
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，
为的解
可由线性表示.
即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵.
同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.
即：
线性相关性
判别方法：
法1
法2
法3
推论
♣ 线性相关性判别法〔归纳〕
♣ 线性相关性的性质
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
局部相关,整体必相关；整体无关,局部必无关. 〔向量个数变动〕
原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 〔向量维数变动〕
两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
假设线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一
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4. 最大无关组相关知识
向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，
矩阵等价经过有限次初等变换化为.
向量组等价和可以相互线性表示. 记作：
矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.
行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行〔列〕向量间的线性关系
向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.
向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；
.
向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
假设两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
设是矩阵,假设，的行向量线性无关；
5. 线性方程组理论
线性方程组的矩阵式向量式
其中
〔1〕解得判别定理
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〔2〕线性方程组解的性质：
(3) 判断是的根底解系的条件：
① 线性无关；
② 都是的解；
③ .
(4) 求非齐次线性方程组A*=b的通解的步骤
〔5〕其他性质
一个齐次线性方程组的根底解系不唯一.
√ 假设是的一个解，是的一个解线性无关
√与同解〔列向量个数一样〕, 且有结果：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；
② 它们对应的局部组有一样的线性相关性；
③