应用“三招五法”，轻松破解含参零点问题.pdf

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应用“三招五法”，
最新模拟卷●名校试卷●无水印●word可编辑试卷●资料请关注【微信公众号：高中生试卷】解得 t＝－1(t＝1 舍去)，此时切线的斜率为－2，由图象可知 a<－2 符合题意．
法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解
令 f(x)＝0，得 ax3＝3x2－ g(x)＝ax3 的图象与 h(x)＝3x2－1 的图象存在唯
一的交点，且交点横坐标大于零．
当 a＝0 时，函数 g(x)的图象与 h(x)的图象存在两个的交点；
当 a>0 时，如图(1)所示，不合题意；
当 a<0 时，由图(2)知，可先求出函数 g(x)＝ax3 与 h(x)＝3x2－1 的图象有公切线时 a 的
值．由 g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得 a＝－ a<－2 时，满足题意．
法四 分离参数法：参变分离，演绎高效
3 1 3 1 3 3 －3x2－1
易知 x≠0，令 f(x)＝0，则 a＝ － ，记 g(x)＝ － ，g′(x)＝－ ＋ ＝ ，
x x3 x x3 x2 x4 x4
可知 g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单
调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且 g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，
平移直线 y＝a，结合图象，可知 a<－2.
法五 特例法：巧取特例求解
取 a＝3，则 f(x)＝3x3－3x2＋ f(0)＝1，f(－1)<0，从而 f(x)在(－∞，0)上存在零
点，排除 A、C.
3
4 4 －
取 a＝－ ，则 f(x)＝－ x3－3x2＋ f(0)＝1，f 2 <0，从而 f(x)在(－∞，0)上存
3 3
在零点，排除 D，故选 B.
[答案] B
[解题师说]
函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等
基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较
好地体现试卷的区分度．
最新模拟卷●名校试卷●无水印●word可编辑试卷●资料请关注【微信公众号：高中生试卷】由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”.
第一 当我们无法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问题时，我们
招 带参讨 要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有参数，通常需要合理地对
论 参数的取值进行分类，并逐一求解．(如本题解法一)
第二 由两个基本初等函数组合而得的超越函数 f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等
招 数形结 价于方程 g(x)－h(x)＝0 的解的个数，亦即 g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为
合 基本初等函数 y＝g(x)与 y＝h(x)的图象的交点个数．(如本题解法二和解法三)
第三 通过将原函数中的变参量进行分离后变形成 g(x)＝l(a)，则原函数的零点问
招 分离参 题化归为与 x 轴平行的直线 y＝l(a)和函数 g(x)的图象的交点问题．(如本题解法